V náhodném experimentu se dvakrát hodí symetrická mince. V náhodném experimentu se dvakrát hodí symetrická mince Určení pravděpodobnosti v kostkových úlohách.
Formulace problému: V náhodný experiment symetrická mince dvakrát hozen. Najděte pravděpodobnost, že se hlavy (ocasy) neobjeví ani jednou (objeví se přesně/alespoň 1, 2krát).
Úloha je součástí Jednotné státní zkoušky z matematiky základní úrovně pro 11. ročník pod číslem 10 (Klasická definice pravděpodobnosti).
Podívejme se, jak se takové problémy řeší na příkladech.
Příklad úkolu 1:
V náhodném experimentu se dvakrát hodí symetrická mince. Najděte pravděpodobnost, že se hlavy nevynoří ani jednou.
OO NEBO RO RR
Takové kombinace jsou celkem 4. Nás zajímají pouze ty, které neobsahují ani jednoho orla. Existuje pouze jedna taková kombinace (PP).
P = 1/4 = 0,25
Odpověď: 0,25
Příklad úkolu 2:
V náhodném experimentu se dvakrát hodí symetrická mince. Najděte pravděpodobnost, že dostanete hlavy přesně dvakrát.
Uvažujme všechny možné kombinace, které mohou nastat, když je mincí hozena dvakrát. Pro usnadnění budeme hlavy označovat písmenem O a ocasy písmenem P:
OO NEBO RO RR
Takové kombinace jsou celkem 4. Nás zajímají pouze ty, ve kterých se hlavy objevují právě 2x. Existuje pouze jedna taková kombinace (OO).
P = 1/4 = 0,25
Odpověď: 0,25
Příklad úkolu 3:
V náhodném experimentu se dvakrát hodí symetrická mince. Najděte pravděpodobnost, že se hlavy objeví právě jednou.
Uvažujme všechny možné kombinace, které mohou nastat, když je mincí hozena dvakrát. Pro usnadnění budeme hlavy označovat písmenem O a ocasy písmenem P:
OO NEBO RO RR
Takové kombinace jsou celkem 4. Zajímají nás pouze ty, ve kterých se hlavy objevily právě 1x. Existují pouze dvě takové kombinace (OR a RO).
Odpověď: 0,5
Příklad úkolu 4:
V náhodném experimentu se dvakrát hodí symetrická mince. Najděte pravděpodobnost, že se hlavy objeví alespoň jednou.
Uvažujme všechny možné kombinace, které mohou nastat, když je mincí hozena dvakrát. Pro usnadnění budeme hlavy označovat písmenem O a ocasy písmenem P:
OO NEBO RO RR
Takové kombinace jsou celkem 4. Nás zajímají pouze ty, ve kterých se alespoň jednou objevují hlavy. Existují pouze tři takové kombinace (OO, OP a RO).
P = 3/4 = 0,75
Problémy s házením mincí jsou považovány za poměrně obtížné. A před jejich vyřešením je potřeba malé vysvětlení. Přemýšlejte o tom, jakýkoli problém v teorii pravděpodobnosti nakonec sestává ze standardního vzorce:
kde p je požadovaná pravděpodobnost, k je počet událostí, které nám vyhovují, n je celkový počet možných událostí.
Většinu problémů B6 lze vyřešit pomocí tohoto vzorce doslova na jednom řádku – stačí si přečíst podmínku. Ale v případě házení mincí je tento vzorec k ničemu, protože z textu takových úloh není vůbec jasné, čemu se čísla k a n rovnají. V tom spočívá potíž.
Zásadní jsou však minimálně dva různé metodyřešení:
- Metoda výčtu kombinací je standardní algoritmus. Všechny kombinace hlav a ocasů jsou zapsány a poté jsou vybrány potřebné;
- Speciální pravděpodobnostní vzorec je standardní definice pravděpodobnosti, speciálně přepsaná tak, aby bylo vhodné pracovat s mincemi.
Chcete-li vyřešit problém B6, musíte znát obě metody. Na školách se bohužel vyučuje jen to první. Neopakujme školácké chyby. Tak pojďme!
Kombinovaná metoda vyhledávání
Tato metoda se také nazývá „řešení dopředu“. Skládá se ze tří kroků:
- Zapisujeme si všechny možné kombinace hlav a ocasů. Například: OR, RO, OO, RR. Počet takových kombinací je n;
- Mezi získanými kombinacemi zaznamenáváme ty, které jsou vyžadovány podmínkami problému. Spočítáme označené kombinace - dostaneme číslo k;
- Zbývá najít pravděpodobnost: p = k: n.
Bohužel tato metoda funguje jen na malý počet hodů. Protože s každým novým hodem se počet kombinací zdvojnásobí. Například pro 2 mince budete muset vypsat pouze 4 kombinace. Za 3 mince je jich již 8 a za 4 - 16 a pravděpodobnost chyby se blíží 100%. Podívejte se na příklady a sami vše pochopíte:
Úkol. V náhodném experimentu se dvakrát hodí symetrická mince. Najděte pravděpodobnost, že získáte stejný počet hlav a ocasů.
Mince se tedy hází dvakrát. Zapišme si všechny možné kombinace (O - hlavy, P - ocasy):
Celkem n = 4 možnosti. Nyní si zapišme možnosti, které vyhovují podmínkám problému:
Takových možností bylo k = 2. Najděte pravděpodobnost:
Úkol. Mince se hodí čtyřikrát. Najděte pravděpodobnost, že nikdy nedostanete hlavy.
Opět zapíšeme všechny možné kombinace hlav a ocasů:
OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPP PPOO PPOP PPPO PPPP
Celkem bylo n = 16 možností. Zdá se, že jsem na nic nezapomněl. Z těchto možností jsme spokojeni pouze s kombinací “OOOO”, která ocásky vůbec neobsahuje. Proto k = 1. Zbývá najít pravděpodobnost:
Jak vidíte, v posledním problému jsem musel vypsat 16 možností. Jste si jisti, že je dokážete napsat, aniž byste udělali jedinou chybu? Osobně si tím nejsem jistý. Podívejme se tedy na druhé řešení.
Speciální pravděpodobnostní vzorec
Takže problémy s mincemi mají svůj vlastní pravděpodobnostní vzorec. Je tak jednoduchá a důležitá, že jsem se rozhodl ji formulovat ve formě věty. Podívej se:
Teorém. Ať se mincí hodí nkrát. Pak pravděpodobnost, že se hlavy objeví přesně kkrát, lze zjistit pomocí vzorce:
Kde C n k je počet kombinací n prvků pomocí k, který se vypočítá podle vzorce:
K vyřešení problému s mincemi tedy potřebujete dvě čísla: počet hodů a počet hlav. Nejčastěji jsou tato čísla uvedena přímo v textu úlohy. Navíc nezáleží na tom, co přesně počítáte: ocasy nebo hlavy. Odpověď bude stejná.
Na první pohled se věta zdá příliš těžkopádná. Jakmile si ale trochu zacvičíte, už se nebudete chtít vracet ke standardnímu algoritmu popsanému výše.
Úkol. Mince se hodí čtyřikrát. Najděte pravděpodobnost, že dostanete hlavy přesně třikrát.
Podle podmínek úlohy bylo celkem hodů n = 4. Požadovaný počet hlav: k = 3. Dosaďte n a k do vzorce:
Úkol. Mince se hodí třikrát. Najděte pravděpodobnost, že nikdy nedostanete hlavy.
Čísla n a k zapíšeme znovu. Protože se mincí hodí 3x, n = 3. A protože by neměly být žádné hlavy, k = 0. Zbývá dosadit čísla n a k do vzorce:
Dovolte mi, abych vám připomněl, že 0! = 1 podle definice. Proto C30 = 1.
Úkol. V náhodném experimentu se 4krát hodí symetrická mince. Najděte pravděpodobnost, že se hlavy objeví vícekrát než ocasy.
Aby bylo více hlav než ocasů, musí se objevit buď 3krát (pak bude 1 ocas) nebo 4krát (pak nebudou ocasy vůbec). Pojďme najít pravděpodobnost každé z těchto událostí.
Nechť p 1 je pravděpodobnost, že se hlavy objeví 3krát. Pak n = 4, k = 3. Máme:
Nyní najdeme p 2 - pravděpodobnost, že se hlavy objeví všechny 4krát. V tomto případě n = 4, k = 4. Máme:
K získání odpovědi zbývá pouze sečíst pravděpodobnosti p 1 a p 2 . Pamatujte: můžete přidat pouze pravděpodobnosti pro vzájemně se vylučující události. My máme:
p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125
Odpověď: 0,25. 34. Řešení. Jsou pouze 4 možnosti: o; o o; p p; p p; Ó. Příznivá 1: o; R. Pravděpodobnost je 1/4 = 0,25. V náhodném experimentu se dvakrát hodí symetrická mince. Najděte pravděpodobnost, že k výsledku OP dojde (poprvé vede, podruhé končí).
Snímek 35 z prezentace "Řešení úkolů B6". Velikost archivu s prezentací je 1329 KB.Matematika 11. třída
souhrn další prezentace„Řešení úkolů B6“ - Zakoupená taška. Pravděpodobnost výskytu nezávislých událostí. Porodnost dívek. Exodus. Hodně. Možnost vyhrát. Účastník. Vysoce kvalitní talíře. Cizí jazyk. Tým. Situace. Požadovaná pravděpodobnost. Člověk. Kombinace. Káva. Baterie. Události. Prodejna. Botanická otázka. Mechanické hodinky. Karty s čísly skupin. Šance na přežití. Čerpadlo. Výstřelový revolver. Sportovec.
„Příprava na zkoušku z matematiky“ - Informační a metodický prostor pro učitele matematiky. Sbírka k Jednotné státní zkoušce z matematiky. Řešení velkého množství problémů z „Banky úkolů“. Doporučení pro absolventy k přípravě na jednotnou státní zkoušku. Ze zkušeností s přípravou na závěrečnou certifikaci nemotivovaných studentů. Pracovní sešity z matematiky B1-B12, C1 – C6 k jednotné státní zkoušce 2011. Výsledky jednotné státní zkoušky. Informační podpora pro jednotnou státní zkoušku. Výchovné a výcvikové testy k Jednotné státní zkoušce 2011 z matematiky.
„Řešení slovních úloh v matematice“ - V prototypové části bloku B12 je celkem 82 prototypových úloh. Pohybové úkoly. Pohyb předmětů směrem k sobě. Tým malířů natírá 240 metrů dlouhý plot. Úkoly do práce. Prototyp úlohy B12. Pracovní úkoly a výkon. Čtyři košile jsou o 8 % levnější než sako. Problémy týkající se „koncentrace, směsí a slitin“. Obecné přístupy k řešení problémů. Pohyb cyklistů a motoristů. Pohyb lodi s proudem a proti proudu.
„Možnosti úkolů jednotné státní zkoušky z matematiky“ – Kořeny jsou iracionální. Příběhové úkoly. Uveďte graf funkce dané vzorcem. Nejjednodušší typy rovnic a nerovnic. Analýza obsahu úloh z matematiky USE. Geometrické obrazce a jejich vlastnosti. Úkoly druhé a třetí části (formulář B a C). Studentská brigáda. Význam výrazu. Najděte význam výrazu. Kolik kořenů má rovnice? Struktura práce v matematice. Základní obsahová témata v matematice.
„Struktura jednotné státní zkoušky z matematiky“ - Školicí práce. Struktura jednotné státní zkoušky KIM. Ukázka jednotné státní zkoušky KIM z matematiky 2012. Rada psychologa. Typické možnosti zkoušek. Jednotná státní zkouška 2012 z matematiky. Užitečné triky. Odpovědní formuláře. Měřítko. Hodnocení písemek z jednotné státní zkoušky z matematiky. Doporučení pro naučení látky. Změny v Jednotné státní zkoušce z matematiky 2012. Struktura verze KIM. Typické testovací úlohy. Algebra.
„Úkol B1 v jednotné státní zkoušce z matematiky“ - Láhev šamponu. Příprava na jednotnou státní zkoušku z matematiky. Obsah úkolu. Ověřitelné požadavky. Motorová loď. Reálná číselná data. Kyselina citronová. Záchranný člun. Úkoly pro samostatné řešení. Kyselina citronová se prodává v sáčcích. Poznámka pro studenta. Největší počet. Prototyp úkolu.
