Монету кидають двічі. У випадковому експерименті симетричну монету кидають двічі
Формулювання завдання:У випадковому експерименті симетричну монетукидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел (решка) не випаде жодного разу (випаде рівно/хоча б 1, 2 рази).
Завдання входить до складу ЄДІ з математики базового рівня для 11 класу за номером 10 (Класичне визначення ймовірності).
Розглянемо, як вирішуються такі завдання на прикладах.
Приклад задачі 1:
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел не випаде жодного разу.
ГО ВР РВ РР
Усього таких комбінацій вийшло 4. Нас цікавлять лише ті з них, у яких немає жодного орла. Така комбінація лише одна (РР).
P = 1/4 = 0.25
Відповідь: 0.25
Приклад задачі 2:
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно двічі.
Розглянемо всі можливі комбінації, які можуть випасти, якщо кидають монету двічі. Для зручності позначатимемо орла буквою О, а решку – буквою Р:
ГО ВР РВ РР
Усього таких комбінацій вийшло 4. Нас цікавлять лише ті з них, у яких орел випадає рівно 2 рази. Така комбінація лише одна (ГО).
P = 1/4 = 0.25
Відповідь: 0.25
Приклад задачі 3:
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно один раз.
Розглянемо всі можливі комбінації, які можуть випасти, якщо кидають монету двічі. Для зручності позначатимемо орла буквою О, а решку – буквою Р:
ГО ВР РВ РР
Усього таких комбінацій вийшло 4. Нас цікавлять лише ті з них, у яких орел випав рівно один раз. Таких комбінацій лише дві (ОР та РВ).
Відповідь: 0.5
Приклад задачі 4:
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде хоча б один раз.
Розглянемо всі можливі комбінації, які можуть випасти, якщо кидають монету двічі. Для зручності позначатимемо орла буквою О, а решку – буквою Р:
ГО ВР РВ РР
Усього таких комбінацій вийшло 4. Нас цікавлять лише ті з них, у яких орел випаде хоча б один раз. Таких комбінацій всього три (ГО, ОР та РВ).
P = 3/4 = 0.75
Завдання на підкидання монет є досить складними. І перед тим, як вирішувати їх, потрібно невелике пояснення. Задумайтесь, будь-яке завдання з теорії ймовірностей у результаті зводиться до стандартної формули:
де p - ймовірність, k - число влаштовують нас подій, n - загальна кількість можливих подій.
Більшість завдань B6 вирішуються за цією формулою буквально в один рядок – достатньо прочитати умову. Але у випадку з підкиданням монет ця формула марна, оскільки з тексту таких завдань взагалі не зрозуміло, чому рівні числа k і n. У цьому полягає вся складність.
Тим не менш, існує як мінімум два принципово різних методурішення:
- Метод перебору комбінацій – стандартний алгоритм. Виписуються всі комбінації орлів і решок, після чого вибираються необхідні;
- Спеціальна формула ймовірності - стандартне визначення ймовірності спеціально переписане так, щоб було зручно працювати з монетами.
Для вирішення задачі B6 треба знати обидва методи. На жаль, у школах вивчають лише перший. Не повторюватимемо шкільних помилок. Тож поїхали!
Метод перебору комбінацій
Цей метод ще називається «рішення напролом». Складається із трьох кроків:
- Виписуємо всі можливі комбінації орлів та решок. Наприклад: ОР, РВ, ГО, РР. Число таких комбінацій - це n;
- Серед одержаних комбінацій відзначаємо ті, які потрібні за умовою завдання. Вважаємо зазначені комбінації - отримуємо число k;
- Залишилося знайти ймовірність: p = k: n.
На жаль, цей спосіб працює лише для малої кількості кидків. Тому що з кожним новим кидком кількість комбінацій подвоюється. Наприклад, для 2 монет доведеться виписати лише 4 комбінації. Для 3 монет їх вже 8, а для 4 – 16, і ймовірність помилки наближається до 100%. Погляньте на приклади – і самі все зрозумієте:
Завдання. У випадковому експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орлів та решок випаде однакова кількість.
Отже, монету кидають двічі. Випишемо всі можливі комбінації (O – орел, P – решка):
Разом n = 4 варіанти. Тепер випишемо ті варіанти, які підходять за умовою завдання:
Таких варіантів виявилося k = 2. Знаходимо ймовірність:
Завдання. Монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що решка не випаде жодного разу.
Знову виписуємо всі можливі комбінації орлів та решок:
ТОВО ТОВОП OPPO OPPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP
Усього вийшло n = 16 варіантів. Ніби нічого не забув. З цих варіантів нас влаштовує лише комбінація OOOO, в якій взагалі немає решік. Отже, k = 1. Залишилося знайти ймовірність:
Як бачите, в останній задачі довелося виписувати 16 варіантів. Ви впевнені, що зможете виписати їх без жодної помилки? Особисто я – не впевнений. Тому розглянемо другий спосіб рішення.
Спеціальна формула ймовірності
Отже, завдання з монетами є власна формула ймовірності. Вона настільки проста і важлива, що вирішив оформити її як теореми. Погляньте:
Теорема. Нехай монету кидають n разів. Тоді ймовірність того, що орел випаде рівно раз, можна знайти за формулою:
Де C n k - число поєднань з n елементів k , яке вважається за формулою:
Отже, на вирішення завдання з монетами потрібні два числа: число кидків і число орлів. Найчастіше ці числа дано у тексті завдання. Понад те, немає значення, що саме вважати: решки чи орли. Відповідь вийде та сама.
На перший погляд, теорема здається надто громіздкою. Але варто трохи потренуватися - і вам уже не захочеться повертатися до стандартного алгоритму, описаного вище.
Завдання. Монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно тричі.
За умовою завдання всього кидків було n = 4. Необхідне число орлів: k = 3. Підставляємо n і k у формулу:
Завдання. Монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що решка не випаде жодного разу.
Знову виписуємо числа n і k. Оскільки монету кидають 3 рази, n = 3. А оскільки решок не повинно бути, k = 0. Залишилося підставити числа n і k у формулу:
Нагадаю, що 0! = 1 за визначенням. Тому C30 = 1.
Завдання. У довільному експерименті симетричну монету кидають 4 рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде більше разів, ніж решка.
Щоб орлів було більше, ніж решік, вони мають випасти або 3 рази (тоді решок буде 1), або 4 (тоді решок взагалі не буде). Знайдемо ймовірність кожної з цих подій.
Нехай p 1 – ймовірність того, що орел випаде 3 рази. Тоді n = 4, k = 3. Маємо:
Тепер знайдемо p 2 – ймовірність того, що орел випаде усі 4 рази. І тут n = 4, k = 4. Маємо:
Щоб отримати відповідь, залишилося скласти ймовірності p1 та p2. Пам'ятайте: складати ймовірності можна лише для взаємовиключних подій. Маємо:
p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125
Відповідь: 0,25. 34. Рішення. Всього 4 варіанти: про; про; р р; р р; о. Сприятливі 1: про; нар. Імовірність дорівнює 1/4 = 0,25. У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що настане результат ОР (вперше випадає орел, вдруге – решка).
Слайд 35із презентації «Рішення завдань В6». Розмір архіву із презентацією 1329 КБ.Математика 11 клас
короткий змістінших презентацій"Рішення завдань В6" - Куплена сумка. Імовірність твору незалежних подій. Частота народження дівчаток. Вихід. Жереб. Можливість виграти. Учасник Якісні тарілки. Іноземна мова. Команда. Ситуація. Шукана ймовірність. Людина. Комбінації. Кава. Батарейка. Події Магазин. Питання з ботаніки. Механічний годинник. Картки із номерами груп. Можливість вціліти. Насоси. Пристріляний револьвер. Спортсмен.
«Підготовка до іспиту з математики» - Інформаційно-методичний простір учителів математики. Збірник до ЄДІ з математики. Розв'язання великої кількості завдань із «Банку завдань». Рекомендації випускникам щодо підготовки до ЄДІ. З досвіду підготовки до підсумкової атестації невмотивованих учнів. Робочі зошити з математики B1-B12, С1 - С6 до ЄДІ 2011. Результати ЄДІ. Інформаційна підтримка Єдиного державного іспиту. Навчально-тренувальні тести до ЄДІ 2011 року з математики.
«Рішення текстових задач з математики» - У розділі прототипів блоку B12 всього 82 прототипи задач. Завдання на рух. Рух об'єктів назустріч один одному. Бригада малярів фарбує паркан завдовжки 240 метрів. Завдання працювати. Прототип завдання B12. Завдання на роботу та продуктивність. Чотири сорочки дешевші за куртку на 8%. Завдання на «концентрацію, сумішей та сплавів». Загальні підходи вирішення завдань. Рух велосипедистів та автомобілістів. Рух човна за течією та проти течії.
«Варіанти завдань ЄДІ з математики» - Коріння ірраціональне. Сюжетні завдання. Вкажіть графік функції, заданої формулою. Найпростіші види рівнянь та нерівностей. Аналіз змісту завдань з математики ЄДІ. Геометричні фігурита їх властивості. Завдання другої та третьої частини (форма В і С). Студентська бригада. Значення виразу. Знайдіть значення виразу. Скільки коренів має рівняння. Структура роботи з математики. Основні змістовні теми з математики.
«Структура ЄДІ з математики» - Тренувальні роботи. Структура КІМ ЄДІ. Приклад КІМ ЄДІ з математики 2012. Поради психолога. Типові екзаменаційні варіанти. ЄДІ-2012 математика. Корисні прийоми. Бланки відповідей Шкалювання. Оцінка робіт ЄДІ з математики. Рекомендації щодо заучування матеріалу. Зміни в ЄДІ з математики 2012. Структура варіанта КІМ. Типові тестові завдання. Алгебра.
"Завдання B1 в ЄДІ з математики" - Флакон шампуню. Підготовка до ЄДІ з математики. Зміст завдання. Перевірені вимоги. Теплохід. Реальні числові дані. Лимонна кислота. Рятувальна шлюпка. Завдання для самостійного вирішення. Лимонна кислота продається у пакетиках. Пам'ятка учню. Найбільше. Прототип завдання.
Умова
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що вдруге випаде те саме, що й уперше.
Рішення
- Дане завдання вирішуватимемо за формулою:
Де Р(А) – ймовірність події А, m – число сприятливих наслідків цієї події, n – загальна кількість всіляких наслідків.
- Застосуємо цю теорію до нашого завдання:
А – подія, коли вдруге випаде те саме, що й у перший;
Р(А) – ймовірність того, що вдруге випаде те саме, що й у перший.
- Визначимо m та n:
m — число сприятливих для цієї події наслідків, тобто число наслідків, коли вдруге випаде те саме, що й у перший. В експерименті кидають монету двічі, яка має дві сторони: решка (Р) та орел (О). Нам необхідно, щоб удруге випаде те саме, що й у перший, а це можливо тоді, коли випадуть наступне комбінації: ГО чи РР, тобто виходить, що
m = 2, оскільки можливо 2 варіанти, коли вдруге випаде те саме, що й у перший;
n – загальна кількість всіляких результатів, тобто визначення n нам необхідно знайти кількість всіх можливих комбінацій, які можуть випасти при киданні монети двічі. Кидаючи вперше монету може випасти або решка, або орел, тобто, можливо, два варіанти. При киданні вдруге монету можливі такі самі варіанти. Виходить, що
