Симетричну монету кидають 4 рази знайти ймовірність. Завдання з теорії ймовірності
Завдання на підкидання монет є досить складними. І перед тим, як вирішувати їх, потрібно невелике пояснення. Задумайтесь, будь-яке завдання з теорії ймовірностей у результаті зводиться до стандартної формули:
де p - ймовірність, k - число влаштовують нас подій, n - загальна кількість можливих подій.
Більшість завдань B6 вирішуються за цією формулою буквально в один рядок – достатньо прочитати умову. Але у випадку з підкиданням монет ця формула марна, оскільки з тексту таких завдань взагалі не зрозуміло, чому рівні числа k і n. У цьому полягає вся складність.
Тим не менш, існує як мінімум два принципово різних методурішення:
- Метод перебору комбінацій – стандартний алгоритм. Виписуються всі комбінації орлів і решок, після чого вибираються необхідні;
- Спеціальна формула ймовірності - стандартне визначення ймовірності спеціально переписане так, щоб було зручно працювати з монетами.
Для вирішення задачі B6 треба знати обидва методи. На жаль, у школах вивчають лише перший. Не повторюватимемо шкільних помилок. Тож поїхали!
Метод перебору комбінацій
Цей метод ще називається «рішення напролом». Складається із трьох кроків:
- Виписуємо всі можливі комбінації орлів та решок. Наприклад: ОР, РВ, ГО, РР. Число таких комбінацій - це n;
- Серед отриманих комбінацій відзначаємо ті, що потрібні за умовою завдання. Вважаємо зазначені комбінації - отримуємо число k;
- Залишилося знайти ймовірність: p = k: n.
На жаль, цей спосіб працює лише для малої кількості кидків. Тому що з кожним новим кидком кількість комбінацій подвоюється. Наприклад, для 2 монет доведеться виписати лише 4 комбінації. Для 3 монет їх вже 8, а для 4 – 16, і ймовірність помилки наближається до 100%. Погляньте на приклади – і самі все зрозумієте:
Завдання. У випадковому експерименті симетричну монетукидають 2 рази. Знайдіть ймовірність того, що орлів та решок випаде однакова кількість.
Отже, монету кидають двічі. Випишемо всі можливі комбінації (O – орел, P – решка):
Разом n = 4 варіанти. Тепер випишемо ті варіанти, які підходять за умовою завдання:
Таких варіантів виявилося k = 2. Знаходимо ймовірність:
Завдання. Монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що решка не випаде жодного разу.
Знову виписуємо всі можливі комбінації орлів та решок:
ТОВО ТОВОП OPPO OPPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP
Усього вийшло n = 16 варіантів. Ніби нічого не забув. З цих варіантів нас влаштовує лише комбінація OOOO, в якій взагалі немає решік. Отже, k = 1. Залишилося знайти ймовірність:
Як бачите, в останній задачі довелося виписувати 16 варіантів. Ви впевнені, що зможете виписати їх без жодної помилки? Особисто я – не впевнений. Тому розглянемо другий спосіб рішення.
Спеціальна формула ймовірності
Отже, завдання з монетами є власна формула ймовірності. Вона настільки проста і важлива, що вирішив оформити її як теореми. Погляньте:
Теорема. Нехай монету кидають n разів. Тоді ймовірність того, що орел випаде рівно раз, можна знайти за формулою:
Де C n k - число поєднань з n елементів k , яке вважається за формулою:
Отже, на вирішення завдання з монетами потрібні два числа: число кидків і число орлів. Найчастіше ці числа дано у тексті завдання. Понад те, немає значення, що саме вважати: решки чи орли. Відповідь вийде та сама.
На перший погляд, теорема здається надто громіздкою. Але варто трохи потренуватися - і вам уже не захочеться повертатися до стандартного алгоритму, описаного вище.
Завдання. Монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно тричі.
За умовою завдання всього кидків було n = 4. Необхідне число орлів: k = 3. Підставляємо n і k у формулу:
Завдання. Монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що решка не випаде жодного разу.
Знову виписуємо числа n і k. Оскільки монету кидають 3 рази, n = 3. А оскільки решок не повинно бути, k = 0. Залишилося підставити числа n і k у формулу:
Нагадаю, що 0! = 1 за визначенням. Тому C30 = 1.
Завдання. У довільному експерименті симетричну монету кидають 4 рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде більше разів, ніж решка.
Щоб орлів було більше, ніж решік, вони повинні випасти або 3 рази (тоді решок буде 1), або 4 (тоді решок взагалі не буде). Знайдемо ймовірність кожної з цих подій.
Нехай p 1 – ймовірність того, що орел випаде 3 рази. Тоді n = 4, k = 3. Маємо:
Тепер знайдемо p 2 – ймовірність того, що орел випаде усі 4 рази. І тут n = 4, k = 4. Маємо:
Щоб отримати відповідь, залишилося скласти ймовірності p1 та p2. Пам'ятайте: складати ймовірності можна лише для взаємовиключних подій. Маємо:
p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125
Теоретично ймовірностей існує група завдань, на вирішення яких досить знати класичне визначення ймовірності і наочно представляти запропоновану ситуацію. Такими завданнями є більшість завдань із підкиданням монети та завдання з киданням грального кубика. Нагадаємо класичне визначення ймовірності.
Імовірність події А (Об'єктивна можливість настання події у числовому вираженні) дорівнює відношенню числа сприятливих цій події результатів до загального числа всіх рівноможливих несумісних елементарних результатів: Р(А)=m/n, де:
- m – число елементарних результатів випробування, які сприяють появі події А;
- n - загальна кількість всіх можливих елементарних результатів випробування.
Число можливих елементарних результатів випробування та кількість сприятливих результатів у розглянутих задачах зручно визначати перебором всіх можливих варіантів (комбінацій) та безпосереднім підрахунком.
З таблиці бачимо, що число можливих елементарних наслідків n=4. Сприятливі наслідки події А = (орел випадає 1 раз) відповідають варіанту №2 і №3 експерименту, таких варіантів два m=2.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=2/4=0,5
Завдання 2 . У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел не випаде жодного разу.
Рішення
. Оскільки монету кидають двічі, те, як і задачі 1, число можливих елементарних результатів n=4. Сприятливі наслідки події А = (орел не випаде жодного разу) відповідають варіанту №4 експерименту (див. таблицю в задачі 1). Такий варіант один, отже, m=1.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=1/4=0,25
Завдання 3 . У довільному експерименті симетричну монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно двічі.
Рішення . Можливі варіанти трьох кидань монети (всі можливі комбінації орлів та решок) представимо у вигляді таблиці:
З таблиці бачимо, що кількість можливих елементарних наслідків n=8. Сприятливі наслідки події А = (орел випадає 2 рази) відповідають варіантам №5, 6 та 7 експерименту. Таких варіантів три, отже m=3.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=3/8=0,375
Завдання 4 . У довільному експерименті симетричну монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно 3 рази.
Рішення . Можливі варіанти чотирьох кидань монети (усі можливі комбінації орлів та решок) представимо у вигляді таблиці:
| № варіанта | 1-й кидок | 2-й кидок | 3-й кидок | 4-й кидок | № варіанта | 1-й кидок | 2-й кидок | 3-й кидок | 4-й кидок |
| 1 | Орел | Орел | Орел | Орел | 9 | Решка | Орел | Решка | Орел |
| 2 | Орел | Решка | Решка | Решка | 10 | Орел | Решка | Орел | Решка |
| 3 | Решка | Орел | Решка | Решка | 11 | Орел | Решка | Решка | Орел |
| 4 | Решка | Решка | Орел | Решка | 12 | Орел | Орел | Орел | Решка |
| 5 | Решка | Решка | Решка | Орел | 13 | Решка | Орел | Орел | Орел |
| 6 | Орел | Орел | Решка | Решка | 14 | Орел | Решка | Орел | Орел |
| 7 | Решка | Орел | Орел | Решка | 15 | Орел | Орел | Решка | Орел |
| 8 | Решка | Решка | Орел | Орел | 16 | Решка | Решка | Решка | Решка |
З таблиці бачимо, що число можливих елементарних наслідків n=16. Сприятливі результати події А = (орел випаде 3 рази) відповідають варіантам №12, 13, 14 та 15 експерименту, отже m=4.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=4/16=0,25
 |
Визначення ймовірності в задачах про гральну кістку
Завдання 5 . Визначте можливість, що при киданні грального кубика (правильної кістки) випаде більше 3 очок.
Рішення
. При киданні грального кубика (правильної кістки) може випасти кожна з шести його граней, тобто. відбутися будь-яка з елементарних подій – випадання від 1 до 6 точок (окулярів). Значить число можливих елементарних наслідків n=6.
Подія А = (випало більше 3 очок) означає, що випало 4, 5 або 6 точок (очок). Значить кількість сприятливих наслідків m=3.
Імовірність події Р(А)=m/n=3/6=0,5
Завдання 6 . Визначте ймовірність того, що при киданні грального кубика випала кількість очок, не більша за 4. Результат округліть до тисячних.
Рішення
. При киданні грального кубика може випасти кожна із шести його граней, тобто. відбутися будь-яка з елементарних подій – випадання від 1 до 6 точок (окулярів). Значить число можливих елементарних наслідків n=6.
Подія А = (випало трохи більше 4 очок) означає, що випало 4, 3, 2 чи 1 точка (очко). Значить кількість сприятливих наслідків m=4.
Імовірність події Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667
Завдання 7 . Гральну кістку кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що обидва рази випало число менше 4.
Рішення . Оскільки гральна кістка (гральний кубик) кидають двічі, то будемо розмірковувати наступним чином: якщо на першому кубику випало одне очко, то на другому може випасти 1, 2, 3, 4, 5, 6. Отримуємо пари (1;1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6) і так з кожною гранню. Всі випадки представимо у вигляді таблиці з 6-ти рядків та 6-ти стовпців:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Сприятливі результати події А = (обидва рази випало число, менше 4) (вони виділені жирним) підрахуємо та отримаємо m=9.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=9/36=0,25
Завдання 8 . Гральну кістку кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що найбільше з двох чисел, що випали, дорівнює 5. Відповідь округліть до тисячних.
Рішення . Всі можливі результати двох кидань гральної кістки подаємо у таблиці:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
З таблиці бачимо, що число можливих елементарних наслідків n=6*6=36.
Сприятливі результати події А = (найбільше з двох чисел, що випали, дорівнює 5) (вони виділені жирним) підрахуємо і отримаємо m=8.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222
Завдання 9 . Гральну кістку кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що хоча б раз випало число менше 4.
Рішення . Всі можливі результати двох кидань гральної кістки подаємо у таблиці:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
З таблиці бачимо, що число можливих елементарних наслідків n=6*6=36.
Фраза «хоч раз випало число, менше 4» означає «число менше 4 випало раз чи двічі», тоді число сприятливих результатів події А = (хоча раз випало число, менше 4) (вони виділені жирним) m=27.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=27/36=0,75
Опис презентації з окремих слайдів:
1 слайд
Опис слайду:
Розв'язання задач з теорії ймовірностей. Вчитель математики МБОУ Нивнянська ЗОШ, Нечаєва Тамара Іванівна
2 слайд
Опис слайду:
Цілі уроку: розглянути різні видизадач з теорії ймовірностей та методи їх вирішення. Завдання уроку: навчити розпізнавати різні різновиди завдань з теорії ймовірностей та вдосконалювати логічне мислення школярів.
3 слайд
Опис слайду:
Завдання 1.У випадковому експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орлів та решок випаде однакова кількість.
4 слайд
Опис слайду:
Завдання 2.Монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що решка не випаде жодного разу.
5 слайд
Опис слайду:
Завдання 3.У випадковому експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно один раз. Рішення: Для того щоб знайти ймовірність зазначеної події, необхідно розглянути всі можливі результати експерименту, а потім з них вибрати сприятливі результати (сприятливі результати - це результати, що задовольняють вимоги завдання). У нашому випадку сприятливими будуть ті результати, в яких при двох киданнях симетричної монети орел випаде лише один раз. Імовірність події обчислюється як відношення кількості сприятливих наслідків до загальної кількості наслідків. Отже, ймовірність того, що при двох кратному киданні симетричної монети орел випаде лише один раз, дорівнює: Р=2/4=0,5=50% %. Номер експерименту 1-й кидок 2-й кидок Скільки разів випав орел 1 Орел Орел 2 2 Решка Решка 0 3 Орел Решка 1 4 Решка Орел 1
6 слайд
Опис слайду:
Завдання 4. Гральний кубик залишили один раз. Яка ймовірність того, що випало число очок більше 4. Рішення: Випадковий експеримент - кидання кубика. Елементарна подія – число на межі, що випала. Відповідь: 1/3 Всього граней: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Елементарні події: N=6 N(A)=2
7 слайд
Опис слайду:
Завдання 5. Біатлоніст п'ять разів стріляє по мішенях. Імовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайдіть ймовірність того, що біатлоніст перші три рази потрапив у мішені, а останні два рази схибив. Результат округліть до сотих. Рішення: Ймовірність попадання = 0,8 Ймовірність промаху = 1 - 0,8 = 0,2 А=(потрапив, потрапив, потрапив, промахнувся, промахнувся) За формулою множення ймовірностей Р(А)= 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 Р(А)= 0,512 ∙ 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02 Відповідь: 0,02
8 слайд
Опис слайду:
Завдання 6.У випадковому експерименті кидають дві гральні кістки. Знайдіть ймовірність того, що сума очок, що випали, дорівнює 6. Відповідь округліть до сотих Рішення: Елементарний результат у цьому досвіді - впорядкована пара чисел. Перше число випаде першому кубику, друге – другому. Безліч елементарних результатів зручно уявити таблицею. Рядки відповідають кількості очок на першому кубику, стовпці - на другому кубику. Всього елементарних подій п = 36. Напишемо в кожній клітині суму очок, що випали, і зафарбуємо клітини, де сума дорівнює 6. Таких осередків 5. Значить, події А = (сума очок, що випали, дорівнює 6) сприяє 5 елементарних результатів. Отже, т = 5. Тому Р(А) = 5/36 = 0,14. Відповідь: 0,14. 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12
9 слайд
Опис слайду:
Формула ймовірності Теорема Нехай монету кидають n разів. Тоді ймовірність того, що орел випаде рівно k разів, можна знайти за формулою: Де Cnk - число поєднань з n елементів k, яке вважається за формулою:
10 слайд
Опис слайду:
Завдання 7. Монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно тричі. Розв'язання За умовою завдання всього кидків було n =4. Необхідне число орлів: k =3. Підставляємо n і k у формулу: З тим самим успіхом можна вважати число решок: k = 4 − 3 = 1. Відповідь буде такою ж. Відповідь: 0,25
11 слайд
Опис слайду:
Завдання 8. Монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що решка не випаде жодного разу. Рішення Знову виписуємо числа n та k. Оскільки монету кидають 3 рази, n = 3. А оскільки решок не повинно бути, k = 0. Залишилося підставити числа n і k у формулу: Нагадаю, що 0! = 1 за визначенням. Тому C30 = 1. Відповідь: 0,125
12 слайд
Опис слайду:
Завдання 9. У випадковому експерименті симетричну монету кидають 4 рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде більше разів, ніж решка. Рішення: Щоб орлів було більше, ніж решік, вони повинні випасти або 3 рази (тоді решіків буде 1), або 4 (тоді решіків взагалі не буде). Знайдемо ймовірність кожної з цих подій. Нехай p1 – ймовірність того, що орел випаде 3 рази. Тоді n = 4, k = 3. Маємо: Тепер знайдемо p2 – ймовірність того, що орел випаде усі 4 рази. І тут n = 4, k = 4. Маємо: Щоб отримати відповідь, залишилося скласти ймовірності p1 і p2. Пам'ятайте: складати ймовірності можна лише для взаємовиключних подій. Маємо: p = p1 + p2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125 Відповідь: 0,3125
13 слайд
Опис слайду:
Завдання 10. Перед початком волейбольного матчу капітани команд тягнуть чесний жереб, щоб визначити, яка з команд розпочне гру з м'ячем. Команда «Статор» по черзі грає з командами «Ротор», «Мотор» та «Стартер». Знайдіть ймовірність того, що «Статор» розпочинатиме лише першу та останню гри. Рішення. Потрібно знайти ймовірність добутку трьох подій: «Статор» починає першу гру, не починає другу гру, починає третю гру. Імовірність твору незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій. Імовірність кожного з них дорівнює 0,5, звідки знаходимо: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125. Відповідь: 0,125.
Умова
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що вдруге випаде те саме, що й уперше.
Рішення
- Дане завдання вирішуватимемо за формулою:
Де Р(А) – ймовірність події А, m – число сприятливих наслідків цієї події, n – загальна кількість всіляких наслідків.
- Застосуємо цю теорію до нашого завдання:
А – подія, коли вдруге випаде те саме, що й у перший;
Р(А) – ймовірність того, що вдруге випаде те саме, що й у перший.
- Визначимо m та n:
m — число сприятливих для цієї події наслідків, тобто число наслідків, коли вдруге випаде те саме, що й у перший. В експерименті кидають монету двічі, яка має дві сторони: решка (Р) та орел (О). Нам необхідно, щоб удруге випаде те саме, що й у перший, а це можливо тоді, коли випадуть наступне комбінації: ГО чи РР, тобто виходить, що
m = 2, оскільки можливо 2 варіанти, коли вдруге випаде те саме, що й у перший;
n – загальна кількість всіляких результатів, тобто визначення n нам необхідно знайти кількість всіх можливих комбінацій, які можуть випасти при киданні монети двічі. Кидаючи вперше монету може випасти або решка, або орел, тобто, можливо, два варіанти. При киданні вдруге монету можливі такі самі варіанти. Виходить, що
Умова
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде хоча б один раз.
Рішення
- Дане завдання вирішуватимемо за формулою:
Де Р(А) – ймовірність події А, m – число сприятливих наслідків цієї події, n – загальна кількість всіляких наслідків.
- Застосуємо цю теорію до нашого завдання:
А - подія, коли орел випаде хоча б 1 раз;
Р(А) – ймовірність того, що орел випаде хоч один раз.
- Визначимо m та n:
m - число сприятливих цій події результатів, тобто число результатів, коли орел випаде 1 разу. В експерименті кидають монету двічі, яка має 2 сторони: решка (Р) та орел (О). Нам необхідно, щоб випав орел хоча б один раз, а це можливо тоді, коли випадуть наступне комбінації: ОР, РВ та ГО, тобто виходить, що
m = 3, оскільки можливо 3 варіанти випадання хоча б одного орла;
n – загальна кількість всіляких результатів, тобто визначення n нам необхідно знайти кількість всіх можливих комбінацій, які можуть випасти при киданні монети двічі. Кидаючи вперше монету може випасти або решка, або орел, тобто, можливо, два варіанти. При киданні вдруге монету можливі такі самі варіанти. Виходить, що
