Problèmes avec les dés comme moyen de mettre en œuvre une orientation humanitaire dans l'enseignement des mathématiques. Sur les dés, la somme des points sur chaque paire de faces opposées est la même. Quelle est cette somme ? Sur les faces opposées des dés, il y a
Il peut sembler assez difficile de créer un dé parfaitement plat de ses propres mains, surtout si l'on considère que bords de dés doivent être parfaitement égaux l'un à l'autre. Après tout, ce n'est qu'alors que le jeu avec les dés peut être considéré comme vraiment honnête et non biaisé. Mais la difficulté de créer cet accessoire de jeu est légèrement exagérée. Nous offrons un moyen simple et rapide de créer un dé.
Instructions pour faire un dé, ses faces.
1. Choisissez le matériau à partir duquel nous allons fabriquer le cube.
2. Nous fabriquons à partir de ce matériau un cube aussi précis que possible avec des côtés de 1 cm.
3. Retirez les chanfreins jusqu'à 1 mm sur les côtés et les coins du cube. En même temps, on met la lime à 45 degrés. Ensuite, il est souhaitable de polir le produit.
4. Dessinez des nombres sur chaque face du cube résultant. Le nombre de points peut être réalisé soit avec une micro perceuse, soit marqué avec de la peinture, soit complètement, en perçant d'abord les trous, peindre les évidements des trous avec de la peinture.
Les désignations numériques sont appliquées dans l'ordre suivant :
- mettre six points sur la face supérieure (trois points de chaque côté);
- à l'opposé, qui est devenu le bas, on met un point (au centre) ;
- à gauche, nous mettons quatre points (dans les coins);
- à droite, nous en appliquons trois (en diagonale);
- sur le devant, on met cinq points (un comme dans le cas d'une unité - au centre, quatre autres, comme dans le cas d'un quatre - dans les coins);
- il devrait y en avoir deux au dos (dans les coins opposés).
Nous vérifions l'exactitude de l'application des nombres. La somme des nombres sur les côtés opposés du cube doit être sept.
5. Nous recouvrons notre cube d'un vernis incolore, en laissant une facette intacte. Les dés reposeront sur ce bord jusqu'à ce que les autres bords soient secs. Ensuite, nous le retournons et le recouvrons également.
6. Il est conseillé de télécharger un programme de dés virtuels. Et pour cela nous prenons un mobile et y installons un interprète du langage informatique BASIC. Il peut être téléchargé sans aucun problème à partir de nombreux sites. Lancez l'interpréteur installé et entrez :
- 10 A% = MOD (RND (0), 4) +3
- 20 SI A% = 0 ALORS ALLER A 10
- 30 IMPRIMER A% 40 FIN
Désormais, chaque fois que vous commencerez à utiliser la commande RUN, ce programme générera des nombres aléatoires de 1 à 6.
7. Pour vérifier si le bords de dés, nous l'utilisons pour obtenir six douzaines de nombres aléatoires, puis comptons combien de fois chacun d'eux se produit. Si les côtés du cube sont pairs, alors les probabilités de chute pour chacun des nombres sur le cube devraient être presque égales.
8. De nos jours jeux de société hors service. Mais encore, n'oubliez pas l'ordre de leur mise en œuvre. Nous dessinons une carte avec les chemins du jeu, ou peut-être avons-nous quelque chose acheté dans un magasin qui traîne quelque part. Ensuite, chaque joueur place son jeton dans le champ initial et le jeu est lancé. Nous jetons les os en cercle les uns après les autres. Chaque joueur a le droit de déplacer sa pièce exactement d'autant de divisions que les dés qu'il a lancés lui ont montré. Suivez ensuite les indications. Si nous atteignons la division "sauter le mouvement", nous nous reposons au tour suivant, "répétons le mouvement", nous lançons à nouveau d'affilée, et ainsi de suite. Le vainqueur est celui qui ne perd pas ses nerfs et dont la puce, au final, sera la première à franchir la ligne d'arrivée.
Histoire de dés
Les os suffisent jeu ancien, mais l'histoire de son apparition est encore inconnue.
Sophocle a donné la palme dans cette affaire à un grec nommé Palamed, qui a inventé ce jeu pendant le siège de Troie. Hérodote était sûr que les ossements avaient été inventés par les Lydiens sous le règne d'Atis. Les archéologues, sur la base des données scientifiques obtenues, réfutent ces hypothèses, puisque les ossements qui ont été trouvés lors des fouilles remontent à une période antérieure à la période de la vie de Palamed et Atis. Dans les temps anciens, les ossements appartenaient à la catégorie des amulettes magiques, qui étaient utilisées pour deviner ou prédire l'avenir. De nos jours, de nombreux peuples ont conservé la tradition de la divination sur les ossements.
Quart Pierre. Soldats jouant aux dés (1643)
Les experts assurent que les premiers dés ont été fabriqués à partir des articulations nodulaires d'animaux sauvages, puis domestiques, que l'on appelait "grands-mères". Ils n'étaient pas symétriques et chaque surface avait ses propres caractéristiques individuelles.
Cependant, nos ancêtres utilisaient également d'autres matériaux pour obtenir des os « magiques ». Ils utilisaient des noyaux de prunes, d'abricots et de pêches, de grosses graines de plantes diverses, des bois de cerf, des pierres lisses, de la céramique, des dents d'animaux prédateurs et de rongeurs. Mais le principal matériau des ossements provenait toujours d'animaux sauvages. Il s'agissait de taureaux, d'orignaux, de cerfs, de caribous. Parmi les anciens Grecs, l'ivoire était très populaire, ainsi que les produits en bronze, en agate, en cristal, en céramique, en jais et en plâtre.
Les jeux de dés étaient souvent frauduleux. Ceci est attesté par des enregistrements dans des écrits anciens. Au VIe siècle avant JC, une copie presque exacte des ossements modernes était utilisée en Chine. Ils avaient une disposition et une configuration cubiques similaires. Ce sont ces objets ludiques datant du VIe siècle avant JC qui ont été retrouvés par les archéologues lors de fouilles menées en République Céleste. Des dessins antérieurs d'os faits sur des pierres ont été découverts par des chercheurs en Egypte. Il y a aussi des lignes sur les dés dans le monument littéraire indien appelé "Mahabharata".
Ainsi, les dés peuvent être appelés en toute sécurité le plus ancien divertissement de jeu. Il existe de nombreux jeux inventés de nos jours qui peuvent être joués avec des dés.
Dés modernes
Les dés modernes, plus souvent appelés dés, sont généralement en plastique et sont divisés en deux groupes.
Le premier groupe comprend les produits la plus haute qualité fait à la main. Ces dés sont achetés par les casinos pour jouer au craps.
Le deuxième groupe comprend les os fabriqués par des machines. Ils conviennent à un usage général.
Les os de la plus haute qualité sont découpés à l'aide d'un outil spécial à partir d'une tige en plastique extrudé. De plus, de minuscules trous sont pratiqués sur les bords, dont la profondeur est de plusieurs millimètres. De la peinture est versée dans ces trous, dont le poids est égal au poids du plastique retiré. Les os sont ensuite polis jusqu'à l'obtention d'une surface parfaitement lisse et uniforme. De tels produits sont appelés « pointe lisse ».
Dans un établissement de jeu, il existe généralement des dés à pointillés lisses en plastique rouge transparent. L'ensemble se compose de 5 os. Pour les dés traditionnels d'une maison de jeu, il est égal à deux centimètres. Les côtes des produits sont de deux types - lame et plume. Les nervures de la lame sont très coupantes. Les plumes sont légèrement aiguisées. Tous les jeux de dés sont fournis avec le logo de l'établissement de jeu auquel ils sont destinés. En plus du monogramme sur les os, il y a des numéros de série. Ils sont spécialement codés pour éviter les fraudes. Dans le casino, en plus des produits hexagonaux traditionnels, on trouve des dés à quatre, cinq et huit faces des conceptions les plus différentes. Les produits avec des trous concaves ne sont presque jamais trouvés aujourd'hui.
Fraude aux dés
Les sépultures fouillées sur tous les continents contiennent des dés spécialement conçus pour le jeu déloyal. Ils ont la forme d'un cube irrégulier. En conséquence, le bord le plus long est le plus souvent abandonné. L'irrégularité de la forme est obtenue en meulant un bord. Vous pouvez également transformer le cube en parallélépipède. Ces os irréguliers sont surnommés « ébauches ». Il est considéré comme un attribut jeu de triche, et appartiennent généralement à des escrocs.
Extérieurement, un disque moderne ne peut pas être distingué d'un os ordinaire, car il a la forme d'un cube parfait. Mais dans un flan, un ou plusieurs bords ont un poids supplémentaire. Ces facettes tombent plus souvent que d'autres.
Une autre astuce consiste à doubler les bords - il y en a beaucoup, d'autres sont complètement absents. En conséquence, certains chiffres apparaîtront trop souvent, tandis que d'autres - presque jamais. Ces os sont appelés "hauts et bas". De tels produits sont utilisés par des escrocs ayant une vaste expérience et des mains plutôt habiles. Le joueur moyen ne remarque souvent pas que son partenaire joue un jeu déloyal.
Certains tricheurs s'entraînent beaucoup avec des os normaux. En conséquence, ils parviennent à jeter les combinaisons requises. À cette fin, les dés sont lancés d'une manière spéciale qui permet à un ou deux produits de tourner dans un plan vertical et de reposer sur le bord requis.
D'autres escrocs choisissent une surface douce comme une couverture ou un manteau. Sur une telle surface, l'os roule comme une bobine. En conséquence, les bords latéraux ne tombent presque pas, ce qui conduit à des combinaisons indésirables pour l'adversaire.
Balayage de dés
Un dé ordinaire a six faces de taille égale. L'emplacement des points sur le cube, formant des nombres le long des bords, n'est pas accidentel.
Selon les règles, la somme des points sur les côtés opposés des dés doit toujours être égale à sept.
Théorie des probabilités de dés
Les dés sont lancés une fois
Lorsque les dés sont lancés, il n'est pas difficile de trouver la probabilité. Si nous supposons que nous avons le bon dé, sans les différentes astuces décrites ci-dessus, alors la probabilité que chacune de ses faces tombe est :
1 sur 6
sous forme fractionnaire : 1/6
sous forme décimale : 0,166666666666667
Les dés sont lancés 2 fois
Si deux dés sont lancés, la probabilité de la combinaison désirée peut être trouvée en multipliant les probabilités de la face désirée sur chacun des dés :
1/6 × 1/6 = 1/36
En d'autres termes, la probabilité sera égale à 1 sur 36. 36 est le nombre d'options qui peuvent être obtenues lorsque le nombre requis apparaît, nous allons rassembler toutes ces options dans un tableau et calculer la somme qui forme les faces des deux cubes.
| numéro de combinaison | combinaison | somme |
| 1 | 2 | |
| 2 | 3 | |
| 3 | 4 | |
| 4 | 5 | |
| 5 | 6 | |
| 6 | 7 | |
| 7 | 3 | |
| 8 | 4 | |
| 9 | 5 | |
| 10 | 6 | |
| 11 | 7 | |
| 12 | 8 | |
| 13 | 4 | |
| 14 | 5 | |
| 15 | 6 | |
| 16 | 7 | |
| 17 | 8 | |
| 18 | 9 | |
| 19 | 5 | |
| 20 | 6 | |
| 21 | 7 | |
| 22 | 8 | |
| 23 | 9 | |
| 24 | 10 | |
| 25 | 6 | |
| 26 | 7 | |
| 27 | 8 | |
| 28 | 9 | |
| 29 | 10 | |
| 30 | 11 | |
| 31 | 7 | |
| 32 | 8 | |
| 33 | 9 | |
| 34 | 10 | |
| 35 | 11 | |
| 36 | 12 |
La probabilité d'obtenir le montant requis en lançant deux dés :
| somme | nombre de combinaisons favorables | probabilité, fractions | probabilité, décimal | probabilité, % |
| 2 | 1 | 1/36 | 0,0278 | 2,78 |
| 3 | 2 | 2/36 | 0,0556 | 5,56 |
| 4 | 3 | 3/36 | 0,0833 | 8,33 |
| 5 | 4 | 4/36 | 0,1111 | 11,11 |
| 6 | 5 | 5/36 | 0,1389 | 13,89 |
| 7 | 6 | 6/36 | 0,1667 | 16,67 |
| 8 | 5 | 5/36 | 0,1389 | 13,89 |
| 9 | 4 | 4/36 | 0,1111 | 11,11 |
| 10 | 3 | 3/36 | 0,0833 | 8,33 |
| 11 | 2 | 2/36 | 0,0556 | 5,56 |
| 12 | 1 | 1/36 | 0,0278 | 2,78 |
Les dés, aussi appelés dé, est un petit cube qui, lorsqu'il est déposé sur une surface plane, prend l'une des différentes positions possibles avec une face visible. Les dés sont utilisés comme moyen de générer des nombres ou des points aléatoires dans les jeux de hasard.
Description des dés
Un dé traditionnel est un cube avec des nombres de 1 à 6 sur chacune de ses six faces.Ces nombres peuvent être représentés par des nombres ou un nombre spécifique de points. Ce dernier est utilisé le plus souvent.
La somme des points sur une paire de faces opposées
Selon l'état de la tâche, la somme des points sur chaque paire de faces opposées est la même.
Il y a 6 faces au total, sur lesquelles sont appliqués des nombres de 1 à 6. La somme de tous les points est déterminée comme la somme d'une progression arithmétique selon la formule
S (n) = (a (1) + a (n)) * n / 2, où
- n est le nombre de membres de la progression, dans ce cas n = 6 ;
- a (1) - le premier terme de la progression a (1) = 1 ;
- a (n) est le dernier terme a (6) = 6.
S (6) = (1 + 6) * 6/2 = 7 * 3 = 21.
Ainsi, la somme de tous les points sur dé est égal à 21.
Si vous divisez 6 visages en paires, vous obtenez 3 paires.
Ainsi, 21 points sont répartis sur 3 paires de dés, soit 21/3 = 7 points sur chaque paire de faces de dés.
Il peut s'agir des options suivantes :
La solution du problème.
1. Trouvez le nombre de faces du dé.
2. Calculons combien de points se trouvent de tous les côtés du cube.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 points.
3. Détermine le nombre de paires de faces opposées du dé.
6 : 2 = 3 paires d'arêtes opposées.
4. Calculez le nombre de points sur chaque paire de côtés opposés du dé.
21 : 3 = 7 points.
Réponse. La somme des points sur chaque paire de côtés opposés des dés est de 7 points.
Parallélépipède rectangulaire
Réponses à la page 111
500. a) L'arête du cube mesure 5 cm Trouvez l'aire de la surface du cube, c'est-à-dire la somme des aires de toutes ses faces.
b) Le bord du cube mesure 10 cm Calculez la surface du cube.
a) 1) 5 2 = 25 (cm 2) - l'aire d'un visage
2) 25 6 = 150 (cm 2) - surface du cube
Réponse : la surface du cube est de 150 cm 2.
b) 1) 10 2 = 100 (cm 2) - l'aire d'un visage
2) 100 6 = 600 (cm 2) - surface du cube
Réponse : la surface du cube est de 600 cm 2.
501. Sur les côtés du cube (Fig. 104), ils ont écrit les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 de sorte que la somme des nombres de deux côtés opposés soit sept. À côté du cube se trouvent ses balayages, qui indiquent l'un de ces nombres. Entrez le reste des chiffres.
502. La figure 105 montre un dé et son développement. Quel numéro est affiché sur :
a) le bord inférieur ;
b) la face latérale à gauche ;
c) la face latérale à l'arrière ? 
a) En bas, le chiffre est 6.
b) Sur le côté gauche, face au chiffre 1.
c) Sur la face latérale derrière le chiffre 2.
503. La figure 106 montre deux dés identiques dans des positions différentes. Quels sont les nombres au bas des cubes ? 
a) Le nombre sur le bord inférieur est l'opposé de 5. À en juger par le chiffre a), ce ne peuvent pas être les numéros 6 et 3, et à en juger par le chiffre b), ce ne peuvent pas être les numéros 1 et 4. Seul le numéro 2 reste.
b) Le nombre sur le bord inférieur est l'opposé du nombre 1. À en juger par le chiffre b) et la solution précédente, il ne peut pas s'agir des nombres 2, 4 et 5. De plus, à en juger par la disposition des nombres dans la figure a), ce ne peut pas être le chiffre 3. Il ne reste que le chiffre 6.
504. Masha allait coller les cubes, et pour cela elle a dessiné différents blancs (fig. 107). Le frère aîné a regardé son travail et a dit que certains d'entre eux ne sont pas des balayages de cubes. Quels espaces sont des balayages de cube ? 
Les blancs de cubes sont les options a), c) et d).
- Yakovleva Tatiana Petrovna, Professeur agrégé du Département de mathématiques et de physique, Établissement d'enseignement budgétaire de l'État fédéral de l'enseignement professionnel supérieur "Kamchatsky Université d'État eux. Vitus Bering ", Petropavlovsk-Kamtchatski, Territoire du Kamtchatka
Sections: Mathématiques , Travail parascolaire
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V.A. Sukhomlinsky
L'orientation humanitaire d'aujourd'hui élargit le contenu de l'enseignement mathématique. Cela augmente non seulement l'intérêt pour le sujet, comme on le croit généralement, mais développe également une personnalité chez les étudiants, active leurs capacités naturelles et crée les conditions d'un développement personnel. Ainsi, l'aspect humanitaire de l'enseignement des mathématiques contribue à : familiariser les élèves avec la culture spirituelle, l'activité créatrice ; les doter de techniques heuristiques et de méthodes de recherche scientifique ; créer des conditions qui encouragent l'étudiant à être actif et assurer sa participation à celle-ci. La pensée humaine consiste principalement à poser et à résoudre des problèmes. Pour paraphraser Descartes, on peut dire : vivre signifie poser et résoudre des problèmes. Et tandis qu'une personne résout des problèmes, elle vit.
Tâches avec dé peut être considérée comme un moyen de mettre en œuvre une orientation humanitaire dans l'enseignement des mathématiques. Ils contribuent : au développement de l'imaginaire spatial ; la formation d'aptitudes à représenter mentalement différentes positions d'un objet et les changements de sa position en fonction de différents points de référence et la capacité de fixer cette représentation sur l'image ; enseigner le raisonnement logique de faits géométriques; développement des compétences en conception, modélisation; développement des compétences de recherche.
Problème 1. Examinez attentivement les formes de la rangée supérieure :
Quel est le chiffre au lieu du "?" de la rangée du bas, vous devez mettre?
Réponse : « b ».
Problème 2. Au recto du cube, 1 point est dessiné, au verso - 2, en haut - 3, en bas - 6, à droite - 5, à gauche - 4. Quel est le plus grand nombre de points qui peuvent être vus simultanément en tournant ce cube dans vos mains ?
Réponse : 13 points.
Problème 3. Sur un dé, le nombre total de points sur deux faces opposées est 7. Kolya a collé une colonne de 6 de ces cubes ensemble et a compté le nombre total de points sur toutes les faces extérieures. Quel est le nombre le plus élevé qu'il pourrait obtenir?
Réponse : le numéro 96.
Problème 4. Faites rouler le cube montré dans l'image en 6 coups pour qu'il atteigne la 7ème case et en même temps sa face avec 6 pointes soit au dessus. Et à chaque tour, vous pouvez déplacer le cube d'un quart de tour vers le haut, le bas, la gauche ou la droite, mais pas en diagonale.
Problème 5. Vous pouvez voir sur l'image comment le roi du pays des énigmes joue aux dés avec le sauvage.
ce jeu inhabituel... Dans celui-ci, un joueur, lançant un dé, ajoute le nombre abandonné sur la facette supérieure avec n'importe quel nombre sur l'une des quatre faces latérales. Et son adversaire additionne tous les autres nombres sur les trois faces latérales. Le nombre en bas n'est pas compté. C'est un jeu simple, bien que les mathématiciens ne soient pas d'accord sur l'avantage exact du lanceur sur son adversaire. A ce moment, le sauvage lance les dés, à la suite de ce lancer, le roi était devant lui de 5 points. Dites-moi, quel nombre aurait dû tomber sur les dés ?
La princesse Riddle garde une trace des victoires du sauvage. Si ce nombre est traduit dans le système Bungalos habituel pour un sauvage, il s'avérera alors encore plus grand. Les sauvages de Bungalosia, comme nous le savons bien, n'ont que trois doigts à chaque main, ils sont donc habitués au système sextuple. Cela pose un curieux problème dans le domaine de l'arithmétique élémentaire : nous demandons à nos lecteurs de traduire le nombre 109 778 dans le système Bungalos, afin que le sauvage sache combien de pièces d'or il a gagnées.
Solution. L'os devrait tomber, un vers le haut. Si vous ajoutez 4 sur le bord latéral ici, cela donne un total de 5. La somme des nombres restants sur les bords latéraux (5, 2 et 3) est de 10, ce qui donne à l'autre joueur un avantage de 5 points. Dans le système hexadécimal, le nombre 109778 serait 2204122. Le nombre à droite représente les uns, le chiffre suivant donne le nombre de six, le troisième chiffre à droite représente le nombre de « trente six », le quatrième chiffre indique le nombre de « portions » de 216, etc. Ce système est basé sur des puissances de 6 au lieu de degrés 10, comme c'est le cas en notation décimale.
Réponse : 2204122.
Problème 6. Sur le bord inférieur du cube sont dessinés 6 points, à gauche - 4, au dos - 2. Quel est le plus grand nombre de points que l'on peut voir simultanément en faisant tourner ce cube entre tes mains ?
Réponse : 13 points.
Problème 7. Voici un dé : un cube avec des points de 1 à 6 marqués sur ses bords.
Peter parie que s'il lance les dés quatre fois de suite, alors pour les quatre fois, les dés tomberont certainement d'un point vers le haut. Vladimir prétend qu'un seul point ne tombera pas du tout avec quatre lancers, ou qu'il tombera plus d'une fois. Lequel d'entre eux a le plus de chances de gagner ?
Solution. Avec quatre lancers, le nombre de toutes les positions possibles des dés est de 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 1296. Supposons que le premier lancer ait déjà eu lieu et qu'un seul point soit tombé. Ensuite, avec les trois lancers suivants, le nombre de toutes les positions possibles favorables à Peter, c'est-à-dire les retombées de tous les points, à l'exception d'un, est de 5 ? 5 ? 5 = 125. De la même manière, 125 dispositions favorables à Pierre sont possibles, si un seul point ne tombe que sur le deuxième, uniquement sur le troisième, ou uniquement sur le quatrième lancer. Il y a donc 125 + 125 + 125 + 125 = 500 possibilités différentes pour qu'un même point apparaisse une fois sur quatre 6 réponses, et une seule. Il y a 1296 - 500 = 796 opportunités défavorables, puisque tous les autres cas sont défavorables.
Réponse : Vladimir a plus de chances de gagner que Peter : 796 contre 500.
Problème 8. Un dé est lancé. Déterminez la valeur de la probabilité que 4 points soient perdus.
Solution. Le dé a 6 faces et des points de 1 à 6 sont marqués dessus, les dés lancés peuvent remonter n'importe laquelle de ces 6 faces et montrer n'importe quel nombre de 1 à 6. Donc, nous avons un total de 6 cas également possibles. L'apparition de 4 points n'est favorisée que de 1. Par conséquent, la probabilité qu'exactement 4 points soient supprimés est de 1/6. Dans le cas de lancer un dé, la même probabilité, 1/6, sera pour toutes les autres chaînes du dé.
Réponse : 1/6.
Problème 9. Quelle est la probabilité d'obtenir 8 points en lançant 2 dés 1 fois ?
Solution. Il n'est pas difficile de compter le nombre de tous les cas également possibles qui peuvent se produire lors du lancement de 2 dés, sur la base des considérations suivantes : lors du lancement de chacun des dés, il donne 1 sur 6 également possible pour ses cas. 6 de ces cas pour un os sont combinés de toutes les manières avec 6 cas pour l'autre os, et il s'avère donc que pour seulement 2 os 6? 6 = 6 2 = 36 cas également possibles. Il reste à calculer le nombre de tous les cas également possibles favorables à l'apparition de la somme 8. Ici la chose est un peu compliquée.
Il faut savoir qu'avec 2 dés, la somme de 8 ne peut être lancée que des manières suivantes (tableau 1).
Tableau 1
Au total, il y a 5 cas favorables à l'événement attendu.
Réponse : la probabilité recherchée que les dés donnent un total de 8 points est de 5/36.
Problème 10. Lancez 2 dés 3 fois. Quelle est la probabilité qu'un double soit lancé au moins une fois (c'est-à-dire que les deux dés aient le même nombre de points) ?
Solution. Tous les cas également possibles seront 3b 3 = 46656. Doublets avec 2 os 6 : 1 et 1, 2 et 2, 3 et 3, 4 et 4, 5 et 5, b et 6, et à chaque coup, n'importe lequel d'entre eux peut apparaître... Ainsi, sur 36 cas pour chaque coup, 30 ne donnent en aucun cas un doublet. Avec trois lancers : il s'avère que 30 3 = 27 000 cas non doubles. Il y aura donc 36 3 - 30 3 = 19 656 cas favorables à l'apparition d'un doublet La probabilité recherchée est 19656 : 46656 = 0,421296.
Réponse : 0,421 296.
Problème 11. Si le dé est lancé, alors n'importe laquelle des 6 faces peut être le dessus. Pour un dé correct (c'est-à-dire pas un dé de triche), tous ces six résultats sont également possibles. Deux dés corrects sont lancés indépendamment l'un de l'autre. Trouvez les probabilités que la somme des points soit sur les bornes supérieures :
a) moins de 9 ; b) plus de 7 ; c) est divisible par 3 ; d) est pair.
Solution. Lors du lancer de deux dés, il y a 36 résultats également possibles, puisqu'il y a 36 paires dans lesquelles chaque élément est un entier de 1 à 6. Composons un tableau dans lequel le nombre de points à gauche est sur le premier dé, sur le top - sur le second, et à l'intersection de la ligne et de la colonne se trouve leur somme (tableau 2).
Tableau 2
Deuxième os |
|||||||||||
Premier os |
|||||||||||
Le calcul direct montre que la probabilité que la somme des points sur les arêtes supérieures soit inférieure à 9 est de 26/36 = 13/18 ; que ce montant est supérieur à 7 - 15/36 = 5/18 ; qu'il est divisible par 3 : 12/36 = 1/3 ; enfin, qu'il soit pair : 18/36 = 1/2.
Réponse : a) 13/18, b) 5/18, c) 1/3, d) 1/2.
Problème 12. Les dés sont lancés avant l'apparition du « six ». La taille du prix est égale à trois roubles multipliés par le nombre ordinal des « six ». Dois-je participer au jeu si le droit d'entrée est de 15 roubles ? Quel est le prix d'entrée pour que le jeu soit inoffensif ?
Solution. Considérons une variable aléatoire (une valeur qui ne prendra qu'une seule valeur possible à la suite du test) sans tenir compte du droit d'entrée. Soit X = (quantité de gain) = (3, 6, 9 ...). Composons le graphe de distribution de cette variable aléatoire :
Trouvons l'espérance mathématique (la valeur moyenne du gain attendu) à partir du graphique en utilisant la formule :
Réponse. L'espérance mathématique d'une victoire (18 roubles) est supérieure à la valeur du droit d'entrée, c'est-à-dire que le jeu est favorable au joueur. Pour que le jeu soit inoffensif, vous devez définir la valeur du droit d'entrée égale à 18 roubles.
Problème 13. La somme des points sur les côtés opposés du cube est 7. Comment faire rouler le cube pour qu'il tourne comme sur l'image :
Problème 14. Le casino offre au joueur un bonus de 100 £ s'il obtient 6 sur un lancer de dé, comme sur l'image :
S'il ne réussit pas, il peut faire un autre coup. Combien le joueur doit-il payer pour cette tentative ?
Réponse. Premier : 1/6 = 6/36, deuxième : 5/6 1/6 = 5/36, 11/36 100 £ = 30,55 £
Problème 15. Le jeu de casino, dit « jeu de dés », a été refait à partir du jeu dans lequel au début du 19ème siècle Bernard de Mandeville appelé « risque », se joue avec deux dés (dés), comme dans le chiffre "a" et "b" :
7 ou 11 victoires. Et lesquels perdent.
Réponse : 2 - 3 - 12.
Tâche 16. La condition de la tâche est illustrée dans la figure :
Quelle image doit être utilisée pour remplacer le "?" ?
Réponse : « un » :
Problème 17. Vous avez probablement rencontré des balayages de cube, à partir desquels vous pouvez créer la surface d'un cube. Le nombre de différents balayages de ce type est de 11. Sur la figure, vous voyez une image du cube lui-même et de son balayage :
Les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 sont écrits sur les côtés du cube. Mais nous ne voyons que les trois premiers nombres, et comment le reste des nombres sont situés peut être compris à partir du balayage « a ». Si nous prenons le balayage «b» du même cube, les nombres y sont disposés dans un ordre différent, de plus, ils s'avèrent être inversés. Après avoir étudié les balayages "a", "b", appliquez cinq nombres sur les neuf balayages restants afin qu'il corresponde au cube proposé :
Testez votre réponse en coupant et en pliant les lacets correspondants.
Problème 18. Sur les faces du cube, les nombres 1, 2, 3, 4, 5 et 6 sont écrits de telle sorte que la somme des nombres sur deux faces opposées soit 7. La figure montre ce cube :
Redessinez les balayages présentés (a-d) et organisez les numéros manquants dans l'ordre souhaité.
Réponse. Les nombres peuvent être organisés comme indiqué sur la figure :
Problème 19. Sur le cube déplié, ses faces (a) sont numérotées :
Écrivez par paires les numéros des faces opposées du cube collé à partir de ce développement (b-d).
Réponse : (6 ; 3), (5 ; 2), (4 ; 1).
Problème 20. Les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 sont tracés sur le bord du cube. Trois positions de ce cube sont représentées sur la figure (a, b, c) :
Dans chaque cas, déterminez quel chiffre se trouve sur le bord inférieur. Tracez les balayages de ce cube (d, e) et mettez-y les nombres manquants.
Réponse. Sur les bords inférieurs se trouvent les chiffres 1, 5, 2; les nombres manquants peuvent être appliqués comme indiqué sur la figure :
Problème 21. Lequel des trois cubes peut être plié à partir de ce balayage :
Réponse : « B ».
Problème 22. L'alésoir est collé à la table avec un bord peint :
Roulez-le mentalement. Imaginez que vous regardez un cube du côté indiqué par une flèche. Quel bord voyez-vous ?
Réponse : 1) A - 1, B - 4, C - 5 ; 2) A - 3, B - 2, C - 1.
Liste de la littérature
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