Чому дорівнює можливість об'єднання двох несумісних подій. Незалежність подій

Р(А)= 1 - 0,3 = 0,7.

3. Теорема складання ймовірностей протилежних подій

Протилежниминазивають дві несумісні події, що утворюють повну групу. Якщо одна з двох протилежних подій позначена через А,те інше прийнято позначати . Протилежна подія полягає у непояві події А.

Теорема.Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:

Р(А)+Р()= 1.

приклад 4.У ящику є 11 деталей, у тому числі 8 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед 3 навмання витягнутих деталей є хоча б одна бракована.

Рішення.Завдання можна вирішити двома способами.

1 спосіб. Події “серед витягнутих деталей є хоча одна бракована” і “серед витягнутих деталей немає жодної бракованої” - протилежні. Позначимо першу подію через А,а друге через :

Р(А) = 1 - Р( ) .

Знайдемо Р(). Загальна кількість способів, якими можна витягти 3 деталі з 11 деталей, дорівнює кількості поєднань
. Число стандартних деталей дорівнює 8 ; з цієї кількості деталей можна
способами витягти 3 стандартні деталі. Тому ймовірність того, що серед вилучених 3 деталей немає жодної нестандартної, дорівнює:

По теоремі складання ймовірностей протилежних подій шукана ймовірність дорівнює: P(A)=1 - P()=

2 спосіб.Подія А- "Серед витягнутих деталей є хоча б одна бракована" - може реалізуватися, як поява:

або події У- "витягнуто 1 браковану та 2 не браковані деталі",

або події З- "витягнуто 2 браковані та 1 не браковані деталі",

або події D - "витягнуто 3 браковані деталі".

Тоді A= B+ C+ D. Оскільки події B, C і D несумісні, можна застосувати теорему складання ймовірностей несумісних подій:

4. Теорема множення ймовірностей незалежних подій

Добутком двох подійА іУ називають подію C=АВ,що полягає у спільній появі (суміщенні) цих подій.

Добутком кількох подійназивають подія, що полягає у спільній появі всіх цих подій. Наприклад, подія АВСполягає у поєднанні подій А, Ві З.

Дві події називають незалежнимиякщо ймовірність одного з них не залежить від появи або не появи іншого.

Теорема.Імовірність спільної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

Р(АВ)=Р(А) Р(В).

Слідство.Імовірність спільної появи кількох подій, незалежних у сукупності, дорівнює добутку ймовірностей цих подій :

Р(А 1 А 2 ...А n ) = Р(А 1 ) · Р(А 2 ) ... Р (А n ).

Приклад 5.Знайти ймовірність спільної появи герба за одного кидання двох монет.

Рішення. Позначимо події: А -поява герба на першій монеті, В -поява герба на другій монеті, З- поява герба на двох монетах С=АВ.

Імовірність появи герба першої монети :

Р(А) =.

Імовірність появи герба другої монети :

Р(В) =.

Оскільки події Аі Унезалежні, то шукана ймовірність за теоремою множення дорівнює:

Р(С)=Р(АВ) = Р(А) Р(В) = =.

Приклад 6.Є 3 ящики, що містять по 10 деталей. У першому ящику 8, у другому 7 і третьому 9 стандартних деталей. З кожного ящика навмання виймають по одній деталі. Знайти ймовірність того, що всі три вийняті деталі виявляться стандартними.

Рішення. Імовірність того, що з першої скриньки вийнято стандартна деталь (подія А):

Р(А) =

Імовірність того, що з другої скриньки вийнято стандартна деталь (подія В):

Імовірність того, що з третьої скриньки вийнято стандартна деталь (подія З):

Р(С)=

Оскільки події А, Ві Знезалежні в сукупності, то шукана ймовірність (за теоремою множення) дорівнює:

P(ABC)=P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.

Приклад 7.Ймовірність появи кожної з двох незалежних подій А 1 і А 2 відповідно рівні р 1 і р 2. Знайти ймовірність появи лише однієї з цих подій.

Рішення. Введемо позначення подій:

У 1 – з'явилася лише подія А 1 ; У 2 – з'явилася лише подія А 2 .

Поява події У 1 рівносильно появі події А 1 2 (з'явилася перша подія і з'явилося друге), тобто. У 1 = А 1 2 .

Поява події У 2 рівносильно появі події 1 А 2 (Не виникла перша подія і з'явилося друге), тобто. У 1 = 1 А 2 .

Таким чином, щоб знайти ймовірність появи лише однієї з подій А 1 або А 2 , Досить визначити ймовірність появи одного, байдуже якого з подій У 1 і У 2 . Події У 1 і У 2 несумісні, тому застосовна теорема складання несумісних подій:

Р(В 1 +У 2 ) = Р(В 1 ) + Р(В 2 ) .

При оцінці ймовірності настання якоїсь випадкової події дуже важливо попередньо добре уявляти, чи залежить ймовірність (ймовірність події) настання події, що цікавить нас, від того, як розвиваються інші події. В разі класичної схеми, коли всі результати рівноймовірні, ми можемо оцінити значення ймовірності цікавить нас окремого події самостійно. Ми можемо зробити це навіть у тому випадку, якщо подія є складною сукупністю кількох елементарних результатів. А якщо кілька випадкових подій відбувається одночасно чи послідовно? Як це впливає на ймовірність реалізації цікавої для нас події? Якщо я кілька разів кидаю гральну кістку, і хочу, щоб випала "шістка", а мені весь час не щастить, чи це означає, що треба збільшувати ставку, тому що, згідно з теорією ймовірностей, мені ось-ось має пощастити? На жаль, теорія ймовірності не стверджує нічого подібного. Ні кістки, ні карти, ні монети не вміють запам'ятовувати, що вони продемонстрували нам минулого разу. Їм зовсім не важливо, вперше чи вдесяте сьогодні я відчуваю свою долю. Щоразу, коли повторюю кидок, я знаю лише одне: і цього разу ймовірність випадання "шістки" знову дорівнює одній шостій. Звичайно, це не означає, що мені потрібна цифра не випаде ніколи. Це означає лише те, що мій програш після першого кидка та після будь-якого іншого кидка – незалежні події. Події А та В називаються незалежними, якщо реалізація одного з них ніяк не впливає на ймовірність іншої події. Наприклад, ймовірності поразки мети першим з двох знарядь не залежать від того, чи вразило ціль інше знаряддя, тому події "перше знаряддя вразило ціль" і "друге знаряддя вразило ціль" незалежні. Якщо дві події А і В незалежні, і ймовірність кожного з них відома, то ймовірність одночасного настання і події А, і події (позначається АВ) можна порахувати, скориставшись наступною теоремою.

Теорема множення ймовірностей для незалежних подій

P(AB) = P(A)*P(B) ймовірність одночасного наступу двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

Приклад 1. Імовірності влучення в ціль при стрільбі першої та другої знарядь відповідно дорівнюють: р 1 = 0,7; р2 = 0,8. Знайти ймовірність влучення при одному залпі обома гарматами одночасно.

як ми бачили події А (попадання першої зброї) і У (попадання другого зброї) незалежні, тобто. Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=р1*р2=0,56. Що станеться з нашими оцінками, якщо вихідні події не є незалежними? Давайте трохи змінимо попередній приклад.

приклад 2.Два стрільці на змаганнях стріляють по мішеням, причому, якщо один з них стріляє влучно, то суперник починає нервувати, і його результати погіршуються. Як перетворити цю життєву ситуацію на математичне завдання та намітити шляхи її вирішення? Інтуїтивно зрозуміло, що треба якимось чином розділити два варіанти розвитку подій, скласти по суті два сценарії, два різні завдання. У першому випадку, якщо суперник схибив, сценарій буде сприятливий для нервового спортсмена і його влучність буде вищою. У другому випадку, якщо суперник пристойно реалізував свій шанс, ймовірність вразити мету другого спортсмена знижується. Для поділу можливих сценаріїв (їх часто називають гіпотезами) розвитку подій ми часто використовуватимемо схему "дерева ймовірностей". Ця схема схожа на дерево рішень, з яким Вам, напевно, вже доводилося мати справу. Кожна гілка є окремим сценарієм розвитку подій, тільки тепер вона має власне значення так званої умовної ймовірності (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).

Ця схема дуже зручна для аналізу випадкових послідовних подій. Залишається з'ясувати ще одне важливе питання: звідки беруться вихідні значення ймовірностей у реальних ситуаціях? Адже не з одними ж монетами та гральними кісткамипрацює теорія ймовірностей? Зазвичай ці оцінки беруться зі статистики, а коли статистичних відомостей немає, ми проводимо власне дослідження. І починати його нам часто доводиться не зі збору даних, а з питання, які відомості нам взагалі потрібні.

приклад 3.Припустимо, нам треба оцінити в місті з населенням у сто тисяч жителів обсяг ринку для нового товару, який не є предметом першої необхідності, наприклад, для бальзаму для догляду за фарбованим волоссям. Розглянемо схему "дерева ймовірностей". При цьому значення ймовірності на кожній "гілці" нам треба приблизно оцінити. Отже, наші оцінки ємності ринку:

1) із усіх жителів міста жінок 50%,

2) зі всіх жінок тільки 30% фарбують волосся часто,

3) з них тільки 10% користуються бальзамами для фарбованого волосся,

4) з них лише 10% можуть набратися сміливості спробувати новий товар,

5) із них 70% зазвичай купує все не у нас, а у наших конкурентів.

За законом перемноження ймовірностей, визначаємо ймовірність події, що цікавить нас А = (житель міста купує у нас цей новий бальзам) = 0,00045. Помножимо це значення ймовірності на кількість жителів міста. В результаті маємо всього 45 потенційних покупниць, а якщо врахувати, що однієї бульбашки цього кошту вистачає на кілька місяців, не надто жвава виходить торгівля. І все ж таки користь від наших оцінок є. По-перше, ми можемо порівнювати прогнози різних бізнес-ідей, на схемах у них будуть різні "розвилки", і, звичайно, значення ймовірності також будуть різні. По-друге, як ми вже казали, випадкова величина не тому називається випадковою, що вона ні від чого не залежить. Просто її точне значення наперед не відоме. Ми знаємо, що середня кількість покупців може бути збільшена (наприклад, за допомогою реклами нового товару). Отже, має сенс зосередити зусилля на тих "розвилках", де розподіл ймовірностей нас особливо не влаштовує, на тих факторах, на які ми можемо вплинути. Розглянемо ще один кількісний приклад дослідження купівельної поведінки.

приклад 3.За день продовольчий ринок відвідує у середньому 10 000 чоловік. Імовірність того, що відвідувач ринку заходить до павільйону молочних продуктів, дорівнює 1/2. Відомо, що в цьому павільйоні в середньому продається на день 500 кг різних продуктів. Чи можна стверджувати, що середня покупка в павільйоні важить лише 100 г?

Обговорення.

Звісно, ​​не можна. Зрозуміло, що не кожен, хто заходив до павільйону, внаслідок чогось там купив.

Як показано на схемі, щоб відповісти на питання про середню вагу покупки, ми повинні знайти відповідь на питання, яка ймовірність того, що людина, яка зайшла в павільйон, щось там купить. Якщо таких даних у нашому розпорядженні немає, а нам вони потрібні, доведеться їх отримати самим, спостерігаючи деякий час за відвідувачами павільйону. Допустимо, наші спостереження показали, що лише п'ята частина відвідувачів павільйону щось купує. Як тільки ці оцінки отримані, завдання стає вже простим. З 10000 чоловік, що прийшли на ринок, 5000 зайдуть у павільйон молочних продуктів, покупок буде лише 1000. Середня вага покупки дорівнює 500 грам. Цікаво відзначити, що для побудови повної картини того, що відбувається, логіка умовних "розгалужень" має бути визначена на кожному етапі нашого міркування так само чітко, якби ми працювали з "конкретною" ситуацією, а не з ймовірностями.

Завдання для самоперевірки.

1. Нехай є електричний ланцюг, що складається з n послідовно з'єднаних елементів, кожен із яких працює незалежно від інших. Відома ймовірність p невиходу з ладу кожного елемента. Визначте ймовірність справної роботи всієї ділянки ланцюга (подія А).

2. Студент знає 20 із 25 екзаменаційних питань. Знайдіть ймовірність того, що студент знає запропоновані йому екзаменатором три запитання.

3. Виробництво складається з чотирьох послідовних етапів, на кожному з яких працює обладнання, для якого ймовірності виходу з ладу протягом найближчого місяця рівні відповідно р1, р2, р3 і р4. Знайдіть ймовірність того, що за місяць не станеться жодної зупинки виробництва через несправність обладнання.

Залежність подій розуміється на імовірнісномусенсі, а чи не у функціональному. Це означає, що за появою однієї із залежних подій не можна однозначно судити про появу іншої. Імовірнісна залежність означає, що поява однієї із залежних подій лише змінює ймовірність появи іншого. Якщо ймовірність у своїй не змінюється, то події вважаються незалежними.

Визначення: Нехай - довільний ймовірнісний простір, - деякі випадкові події. Кажуть що подія Ане залежить від події У , якщо його умовна ймовірність збігається з безумовною ймовірністю:

Якщо , то кажуть, що подія Азалежить від події У.

Поняття незалежності симетричне, тобто якщо подія Ане залежить від події У,те і подія Уне залежить від події А. Справді, нехай. Тоді. Тому кажуть просто, що події Аі Унезалежні.

З правила множення ймовірностей випливає таке симетричне визначеннянезалежності подій.

Визначення: Події Аі В,визначені на тому самому імовірнісному просторі, називаються незалежними, якщо

Якщо , то події Аі Уназиваються залежними.

Відмітимо, що дане визначеннясправедливо і у випадку, коли або .

Властивості незалежних подій.

1. Якщо події Аі Ує незалежними, то незалежними є такі пари подій: .

▲ Доведемо, наприклад, незалежність подій . Уявимо подію Ау вигляді: . Оскільки події є несумісними, то , а через незалежність подій Аі Уотримуємо, що . Звідси, що означає незалежність. ■

2. Якщо подія Ане залежить від подій В 1і В 2, які є несумісними () , та подія Ане залежить і від суми.

▲ Дійсно, використовуючи аксіому адитивності ймовірності та незалежність події Авід подій В 1і В 2, маємо:

Зв'язок між поняттями незалежності та несумісності.

Нехай Аі У- будь-які події, що мають ненульову ймовірність: так що . Якщо при цьому події Аі Ує несумісними (), те й тому рівність неспроможна мати місце ніколи. Таким чином, несумісні події є залежними.

Коли розглядають більше двох подій одночасно, то їхня попарна незалежність недостатньо характеризує зв'язок між подіями всієї групи. І тут вводиться поняття незалежності разом.

Визначення: Події , визначені на тому самому імовірнісному просторі , називаються незалежними у сукупності, якщо для будь-кого 2 £ m £ nта будь-якої комбінації індексів справедлива рівність:

При m = 2із незалежності в сукупності випливає попарна незалежність подій. Назад неправильно.

приклад. (Бернштейн С.М.)

Випадковий експеримент полягає у підкиданні правильного чотиригранника (тетраедра). Спостерігається грань, що випала донизу. Грані тетраедра пофарбовані в такий спосіб: 1 грань - біла, 2 грань - чорна,
3 грань – червона, 4 грань – містить усі кольори.

Розглянемо події:

А= (Випадання білого кольору); B= (Випадання чорного кольору);

C= (Випадання червоного кольору).

Отже, події А, Уі Зє попарно незалежними.

Однак, .

Тому події А, Уі Знезалежними в сукупності є.

На практиці, як правило, незалежність подій не встановлюють, перевіряючи її за визначенням, а навпаки: вважають події незалежними з будь-яких зовнішніх міркувань чи з урахуванням обставин випадкового експерименту, та використовують незалежність для знаходження ймовірностей твору подій.

Теорема (множення ймовірностей для незалежних подій).

Якщо події, визначені на тому самому імовірнісному просторі, є незалежними в сукупності, то ймовірність їх твору дорівнює твору ймовірностей:

▲ Доказ теореми випливає із визначення незалежності подій у сукупності або із загальної теореми множення ймовірностей з урахуванням того, що при цьому

Приклад 1 (типовий приклад перебування умовних ймовірностей, поняття незалежності, теорему складання ймовірностей).

Електрична схемаскладається із трьох незалежно працюючих елементів. Імовірності відмов кожного з елементів відповідно дорівнюють.

1) Знайти можливість відмови схеми.

2) Відомо, що схема відмовила.

Яка ймовірність того, що при цьому відмовив:

а) 1-й елемент; б) третій елемент?

Рішення.Розглянемо події = (Відмовив k-й елемент), та подія А= (Відмовила схема). Тоді подія Апредставляється у вигляді:

1) Оскільки події і несумісними не є, то аксіома адитивності ймовірності Р3) не застосовна і для знаходження ймовірності слід використовувати загальну теорему складання ймовірностей, відповідно до якої

Визначення ймовірності

Класичне визначення

Класичне " визначення " ймовірності виходить із поняття рівноможливостіяк об'єктивного властивості досліджуваних явищ. Рівноможливість є невизначеним поняттям і встановлюється із загальних міркувань симетрії явищ, що вивчаються. Наприклад, при підкиданні монетки виходять з того, що в силу передбачуваної симетрії монетки, однорідності матеріалу та випадковості (неупередженості) підкидання немає жодних підстав для переваги "решки" перед "орлом" або навпаки, тобто випадання цих сторін можна вважати рівноможливими (рівноймовірними) .

Поряд з поняттям рівноможливості в загальному випадку для класичного визначення необхідне також поняття елементарної події (виходу), що сприяє чи ні досліджуваній події A. Йдеться про результати, настання яких виключає можливість настання інших результатів. Це несумісні елементарні події. Наприклад при киданні гральної кістки випадання конкретного числа виключає випадання інших чисел.

Класичне визначення ймовірності можна сформулювати так:

Імовірністю випадкової події A називається відношення числа n несумісних рівноймовірних елементарних подій, що становлять подію A , до всіх можливих елементарних подій N :

Наприклад, нехай підкидаються дві кістки. Загальна кількість рівноможливих результатів (елементарних подій) дорівнює 36 (6 можливостей на кожній кістці). Оцінимо можливість випадання 7 очок. Отримання 7 очок можливе наступними способами: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. Тобто всього 6 рівноможливих наслідків, що сприяють події A – отриманню 7 очок. Отже, ймовірність дорівнюватиме 6/36=1/6. Для порівняння ймовірність отримання 12 очок або 2 очок дорівнює всього 1/36 – у 6 разів менше.

Геометричне визначення

Незважаючи на те, що класичне визначення є інтуїтивно зрозумілим і виведеним з практики, воно, як мінімум, не може бути безпосередньо застосоване у разі, якщо кількість рівноможливих результатів нескінченна. Яскравим прикладом нескінченного числа можливих наслідків є обмежена геометрична область G, наприклад, на площині, з площею S. Випадково "підкинута" "точка" з рівною ймовірністю може виявитися в будь-якій точці цієї області. Завдання полягає у визначенні ймовірності влучення точки в деяку підобласть g з площею s. У такому випадку узагальнюючи класичне визначення можна дійти геометричного визначення ймовірності попадання в підобласть:

Зважаючи на рівноможливість ймовірність ця не залежить від форми області g, вона залежить тільки від її площі. Дане визначення природно можна узагальнити і простір будь-якої розмірності, де замість площі використовувати поняття " обсягу " . Більше того, саме таке визначення призводить до сучасного аксіоматичного визначення ймовірності. Поняття обсягу узагальнюється до поняття "заходи" деякої абстрактної множини, до якої пред'являються вимоги, якими володіє і "обсяг" у геометричній інтерпретації - насамперед, це невід'ємність та адитивність.

Частотне (статистичне) визначення

Класичне визначення під час розгляду складних проблем наштовхується на труднощі непереборного характеру. Зокрема, у деяких випадках виявити рівноможливі випадки може бути неможливим. Навіть у випадку з монеткою, як відомо існує явно не рівноймовірна можливість випадання "ребра", яку з теоретичних міркувань оцінити неможливо (можна тільки сказати, що воно малоймовірне і це міркування швидше практичне). Тому ще на зорі становлення теорії ймовірностей було запропоновано альтернативне "частотне" визначення ймовірності. А саме формально ймовірність можна визначити як межу частоти спостережень події A, припускаючи однорідність спостережень (тобто однаковість усіх умов спостереження) та їх незалежність один від одного:

де – кількість спостережень, а – кількість настань події.

Незважаючи на те, що дане визначення скоріше вказує на спосіб оцінки невідомої ймовірності – шляхом великої кількості однорідних та незалежних спостережень – проте у такому визначенні відображено зміст поняття ймовірності. А саме, якщо події приписується деяка ймовірність, як об'єктивний захід його можливості, то це означає, що при фіксованих умовах і багаторазовому повторенні ми повинні отримати частоту його появи, близьку до (тим більш близьку, чим більше спостережень). Власне, у цьому полягає вихідний зміст поняття ймовірності. У основі лежить об'єктивістський погляд явища природи. Нижче буде розглянуто так звані закони великих чисел, які дають теоретичну основу (в рамках сучасного аксіоматичного підходу, що викладається нижче) в тому числі для частотної оцінки ймовірності.

Аксіоматичне визначення

У сучасному математичному підході можливість задається аксіоматикою Колмогорова. Передбачається, що поставлено деяке простір елементарних подій. Підмножини цього простору інтерпретуються як випадкові події. Об'єднання (сума) деяких підмножин (подій) інтерпретується як подія, що полягає в наступі хоча б одногоіз цих подій. Перетин (твір) підмножин (подій) інтерпретується як подія, що полягає в наступі всіхцих подій. Непересічні множини інтерпретуються як несумісніподії (їх спільний наступ неможливий). Відповідно, порожня множина означає неможливеподія.

Ймовірністю ( імовірнісним заходом) називається міра(числова функція), задана на безлічі подій, що має наступні властивості:

Якщо простір елементарних подій X звичайно, то достатньо зазначеної умови адитивності для довільних двох несумісних подій, з якої слідуватиме адитивність для будь-якого кінцевогокількості несумісних подій. Проте, у разі нескінченного (лічильного чи незліченного) простору елементарних подій цієї умови виявляється недостатньо. Потрібна так звана лічильна або сигма-адитивністьтобто виконання властивості адитивності для будь-якого не більше ніж лічильногосімейства попарно несумісних подій. Це необхідно для забезпечення "безперервності" імовірнісного заходу.

Імовірнісний захід може бути визначений не для всіх підмножин множини. Передбачається, що вона визначена на деякій сигма-алгебрипідмножин . Ці підмножини називаються вимірнимипо цій ймовірнісній мірі і вони є випадковими подіями. Сукупність - тобто безліч елементарних подій, сигма-алгебра його підмножин та імовірнісний захід - називається імовірнісним простором.

Безперервні випадкові величини.Крім дискретних випадкових величин, можливі значення яких утворюють кінцеву або нескінченну послідовність чисел, що не заповнюють жодного інтервалу, часто зустрічаються випадкові величини, можливі значення яких утворюють деякий інтервал. Прикладом такої випадкової величини може бути відхилення від номіналу деякого розміру деталі при правильно налагодженому технологічному процесі. Такі випадкові величини не можуть бути задані за допомогою закону розподілу ймовірностей р(х). Однак їх можна встановити за допомогою функції розподілу ймовірностей F(х). Ця функція визначається так само, як і у випадку дискретної випадкової величини:

Таким чином, і тут функція F(х)визначена на всій числовій осі, та її значення у точці хдорівнює ймовірності того, що випадкова величина набуде значення, менше ніж х. Формула (19) та властивості 1° та 2° справедливі для функції розподілу будь-якої випадкової величини. Доказ проводиться аналогічно випадку дискретної величини. Випадкова величина називається безперервний, якщо для неї існує невід'ємна кусочно-безперервна функція*, яка задовольняє будь-яких значень xрівності

Виходячи з геометричного сенсу інтеграла як площі, можна сказати, що ймовірність виконання нерівностей дорівнює площі криволінійної трапеції з основою обмеженою зверху кривою (рис. 6).

Так як , а на підставі формули (22)

Зауважимо, що для безперервної випадкової величини функція розподілу F(х)безперервна в будь-якій точці хде функція безперервна. Це випливає з того, що F(х)у цих точках диференційована. На підставі формули (23), вважаючи x 1 =x, , маємо

Через безперервність функції F(х)отримаємо, що

Отже

Таким чином, ймовірність того, що безперервна випадкова величина може прийняти будь-яке окреме значення х дорівнює нулю. Звідси випливає, що події, що полягають у виконанні кожної з нерівностей

Мають однакову можливість, тобто.

Справді, наприклад,

так як Зауваження.Як ми знаємо, якщо подія неможлива, то ймовірність її наступу дорівнює нулю. При класичному визначенні ймовірності, коли число результатів випробування звісно, ​​має місце й протилежне пропозицію: якщо ймовірність події дорівнює нулю, то подія неможлива, оскільки у разі йому не сприяє жоден з результатів випробування. У разі безперервної випадкової величини кількість можливих її значень нескінченна. Імовірність того, що ця величина набуде будь-якого конкретного значення x 1 як ми бачили, дорівнює нулю. Однак звідси не випливає, що ця подія неможлива, тому що в результаті випробування випадкова величина може, зокрема, прийняти значення x 1 . Тому у разі безперервної випадкової величини має сенс говорити про ймовірність потрапляння випадкової величини в інтервал, а не про ймовірність того, що вона набуде якогось конкретного значення. Так, наприклад, при виготовленні валика нас не цікавить ймовірність того, що його діаметр дорівнюватиме номіналу. Для нас важлива ймовірність того, що діаметр валика не виходить із поля допуску. приклад.Щільність розподілу безперервної випадкової величини задана таким чином:

Графік функції представлений на рис. 7. Визначити ймовірність того, що випадкова величина набуде значення, що задовольняє нерівності. Знайти функцію розподілу заданої випадкової величини. ( Рішення)

Наступні два пункти присвячені розподілам безперервних випадкових величин, що часто зустрічаються на практиці, - рівномірному і нормальному розподілам.

* Функція називається шматково-безперервною на всій числовій осі, якщо вона на будь-якому сегменті або безперервна, або має кінцеву кількість точок розриву I роду. ** Правило диференціювання інтеграла зі змінним верхнім кордоном, виведене у разі кінцевої нижньої межі, залишається справедливим і для інтегралів з нескінченним нижнім кордоном. Справді,

Оскільки інтеграл

є постійна величина.

Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність

Розрізняють події залежні та незалежні. Дві події називаються незалежними, якщо поява одного з них не змінює ймовірність появи іншого. Наприклад, якщо у цеху працюють дві автоматичні лінії, за умовами виробництва не взаємопов'язані, то зупинки цих ліній є незалежними подіями.

приклад 3.Монета кинута двічі. Імовірність появи " герба " у першому випробуванні ( подія ) залежить від появи чи появи " герба " у другому випробуванні ( подія ). У свою чергу, можливість появи "герба" ​​у другому випробуванні не залежить від результату першого випробування. Таким чином, події та незалежні.

Декілька подій називаються незалежними у сукупності якщо будь-яка з них не залежить від будь-якої іншої події і від будь-якої комбінації інших.

Події називаються залежними якщо одне з них впливає на ймовірність появи іншого. Наприклад, дві виробничі установки пов'язані єдиним технологічним циклом. Тоді ймовірність виходу з експлуатації однієї з них залежить від того, в якому стані знаходиться інша. Імовірність однієї події, обчислена у припущенні здійснення іншої події, називається умовною ймовірністю події та позначається.

Умову незалежності події від події записують у вигляді, а умова її залежності - у вигляді. Розглянемо приклад обчислення умовної ймовірності події.

приклад 4.У ящику знаходяться 5 різців: два зношені і три нові. Виробляється два послідовні вилучення різців. Визначити умовну ймовірність появи зношеного різця при другому витягу за умови, що вилучений вперше різець у ящик не повертається.

Рішення. Позначимо вилучення зношеного різця у разі, а - вилучення нового. Тоді. Оскільки вилучений різець у ящик не повертається, змінюється співвідношення між кількостями зношених і нових різців. Отже, ймовірність вилучення зношеного різця у разі залежить від цього, яке подія здійснилося перед цим.

Позначимо подію, що означає вилучення зношеного різця у другому випадку. Імовірності цієї події можуть бути такими:

Отже, ймовірність події залежить від того, чи відбулася подія.

Щільність ймовірності- один із способів завдання ймовірнісної міри на евклідовому просторі. У випадку, коли імовірнісний захід є розподілом випадкової величини, говорять про щільностівипадкової величини.

Щільність ймовірності Нехай є імовірнісною мірою, тобто визначено ймовірнісний простір, де позначає борелівську σ-алгебру на. Нехай означає міру Лебега на.

Визначення 1.Імовірність називається абсолютно безперервною (щодо міри Лебега) (), якщо будь-яка борелівська множина нульової міри Лебега також має ймовірність нуль:

Якщо ймовірність абсолютно безперервна, то згідно з теоремою Радона-Нікодима існує невід'ємна борелівська функція така, що

,

де використано загальноприйняте скорочення , Інтеграл розуміється у сенсі Лебега.

Визначення 2.У більш загальному вигляді, нехай - довільне простір, що вимірюється, а і - два заходи на цьому просторі. Якщо знайдеться невід'ємна , що дозволяє виразити міру через міру у вигляді

то таку функцію називають щільністю міри по мірі , або похідної Радона-Нікодимазаходи щодо заходи , та позначають

Визначення 1. Подія А називається залежною від події В, якщо ймовірність появи події А залежить від того, чи відбулася подія В. Імовірність того, що сталася подія А за умови, що сталася подія В, будемо позначати і називати умовною ймовірністю події А за умови Ст.

Приклад 1. У урні знаходиться 3 білі кулі та 2 чорні. З урни виймається одна куля (перше виймання), а потім друга (друге виймання). Подія В – поява білої куліпри першому вийманні. Подія А - поява білої кулі при другому вийманні.

Очевидно, що ймовірність події А, якщо подія відбулася, буде

Імовірність події Л за умови, що подія В не відбулася (за першого виймання з'явилася чорна куля), буде

Бачимо, що

Теорема 1. Імовірність поєднання двох подій дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовну вірогідність другого, обчислену за умови, що перша подія сталася, тобто.

Доведення. Доказ наведемо для подій, які зводяться до схеми урн (т. е. у разі, коли застосовується класичне визначення ймовірності).

Нехай у урні куль, причому білих, чорних. Нехай серед білих куль куль із позначкою «зірочка», інші чисто білі (рис. 408).

З урни виймається одна куля. Якою є ймовірність події вийняти білу кулю з позначкою «зірочка»?

Нехай В - подія, що складається в появі (білої кулі, А - подія, що полягає в появі кулі з позначкою «зірочка». Очевидно,

Імовірність появи білої кулі з «зірочкою за умови, що з'явилася біла куля, буде

Імовірність появи білої кулі зі «зірочкою» є Р (А та В). Очевидно,

Підставляючи в (5) ліві частини виразів (2), (3) та (4), отримуємо

Рівність (1) підтверджено.

Якщо події, що розглядаються, не укладаються в класичну - схему, то формула (1) служить для визначення умовної ймовірності. А саме, умовна ймовірність події А за умови здійснення події В визначається за допомогою

Зауваження 1. Застосуємо останню формулу до виразу:

У рівностях (1) і (6) ліві частини рівні, оскільки це та сама ймовірність, отже, рівні й праві. Тому можемо написати рівність

Приклад 2. Для випадку прикладу 1, наведеного на початку цього параграфа, маємо За формулою (1) отримуємо ймовірність Р(А та В) легко обчислюється і безпосередньо.

Приклад 3. Можливість виготовлення придатного виробу даним верстатом дорівнює 0,9. Імовірність появи виробу 1-го ґатунку серед придатних виробів є 0,8. Визначити можливість виготовлення виробу 1-го сорту даним верстатом.

Рішення. Подія В – виготовлення придатного виробу даним верстатом, подія А – поява виробу 1-го ґатунку. Тут Підставляючи у формулу (1), отримуємо ймовірність

Теорема 2. Якщо подія А може здійснитися тільки при виконанні однієї з подій, що утворюють повну групу несумісних подій, то ймовірність події А обчислюється за формулою

Формулд (8) називається формулою ймовірності. Доведення. А може статися при виконанні будь-якої з поєднаних подій

Отже, за теоремою про складання ймовірностей отримуємо

Замінюючи доданки правої частини за формулою (1), отримаємо рівність (8).

Приклад 4. За метою зроблено три послідовні постріли. Імовірність влучення при першому пострілі при другому при третьому При одному попаданні ймовірність ураження мети при двох попаданнях, при трьох попаданнях Визначити ймовірність пфаженйя цілі при трьох пострілах (подія А).

Рішення. Розглянемо повну групу несумісних подій:

Було одне влучення;