Що таке закон середніх чисел. Середні величини

Лекція 8. Розділ 1. Теорія ймовірностей

розглянуті питання

1) Закон великих чисел.

2) Центральна гранична теорема.

Закон великих чисел.

Під законом великих чисел в широкому сенсі розуміється загальний принцип, згідно з яким при великому числі випадкових величин їх середній результат перестає бути випадковим і може бути передбачений з великим ступенем визначеності.

Під законом великих чисел у вузькому сенсі розуміється ряд математичних теорем, в кожній з яких при тих чи інших умовах встановлюється можливість наближення середніх характеристик великої кількості випробувань

до деяких певним постійним. При доведенні теорем такого роду використовуються нерівності Маркова та Чебишева, що представляють також самостійний інтерес.

Теорема 1 (нерівність Маркова). Якщо випадкова величина приймає невід'ємні значення і має математичне сподівання, то для будь-якого позитивного числа справедливо нерівність

Доказ проведемо для дискретної випадкової величини. Будемо вважати, що вона приймає значень з яких перші менше або дорівнюють а все решта більше Тоді

звідки

Приклад 1. Середня кількість викликів, що надходять на комутатор заводу протягом години, так само 300. Оцінити вірогідність того, що в перебігу наступної години число викликів на комутатор:

1) перевищить 400;

2) буде не більше 500.

Рішення. 1) Нехай випадкова величина є число дзвінків, що надходять на комутатор протягом години. Середнє значення-це. Значить Нам треба оцінити. Згідно нерівності Маркова

2) Таким чином, ймовірність того, що число викликів буде не більше 500, не менше 0,4.

Приклад 2. Сума всіх вкладів в відділення банку становить 2 млн. Рублів, а ймовірність того, що випадково взятий вклад не перевищує 10 тис. Рублів, дорівнює 0,6. Що можна сказати про кількість вкладників?

Рішення. Нехай випадково взята величина є розмір випадково взятого вкладу, а число всіх вкладів. Тоді (тис.). Згідно нерівності Маркова звідки

Приклад 3. Нехай-час запізнення студента на лекцію, причому відомо, що в середньому він спізнюється на 1 хвилину. Оцініть ймовірність того, що студент запізниться не менше ніж на 5 хвилин.

Рішення.За умовою Застосовуючи нерівність Маркова, отримуємо, що

Таким чином, з кожних 5 студентів запізниться принаймні на 5 хвилин не більше, ніж 1 студент.

Теорема 2 (Нерівність Чебишева). .

Доказ. Нехай випадкова величина Х задається низкою розподілу

Згідно з визначенням дисперсії Виключимо з цієї суми ті складові, для яких . При цьому, тому що всі складові, невід'ємні, сума може тільки зменшиться. Для визначеності будемо вважати, що відкинуті перші k доданків. тоді

отже, .

Нерівність Чебишева дозволяє оцінювати зверху ймовірність відхилення випадкової величини від її математичного очікування на основі інформації лише про її дисперсії. Воно широко використовується, наприклад, в теорії оцінювання.

Приклад 4. Монета підкидається 10 000 раз. Оцінити ймовірність того, що частота випадання герба відрізняється від на 0,01 або більше.

Рішення. Введемо незалежні випадкові величини, де - випадкова величина з рядом розподілу

тоді так як розподілена за біноміальним законом з Частота появи герба є випадкова величина де . Тому дисперсія частоти появи герба є Згідно нерівності Чебишева, .

Таким чином, в середньому не більше ніж в чверті випадків при 10 000 підкидання монети частота випадання герба буде відрізнятися від на одну соту або більше.

Теорема 3 (Чебишева). Якщо - незалежні випадкові величини, дисперсії яких рівномірно обмежені (), то

Доказ. Так як

то застосовуючи нерівність Чебишева, отримуємо

Оскільки ймовірність події не може бути більше 1, отримуємо необхідну.

Слідство 1. Якщо - незалежні випадкові величини з рівномірно обмеженими дисперсіями і одним і тим же математичним очікуванням, рівним а, то

Рівність (1) говорить про те, що випадкові відхилення окремих незалежних випадкових величин від їх загального середнього значення при великому в своїй масі взаємно погашаються. Тому, хоча самі величини випадкові, їх середнє при великому практично вже не випадково і близько до. Це означає, що якщо заздалегідь невідомо, то його можна обчислити за допомогою середнього арифметичного. Це властивість послідовностей незалежних випадкових величин називається законом статистичної стійкості. Закон статистичної стійкості обґрунтовує можливість застосування аналізу статистик при прийнятті конкретних управлінських рішень.

Теорема 4 (Бернуллі). Якщо в кожному з п незалежних дослідів ймовірність р появи події А постійна, то

,

де - число появ події А при цих п випробуваннях.

Доказ. Введемо незалежні випадкові величини, де Х i - випадкова величина з рядом розподілу

Тоді М (Х i) \u003d Р, D (Х i) \u003d РQ. Так як, то D (Х i) Обмежені в сукупності. З теореми Чебишева слід, що

.

Але Х 1 + Х 2 + ... + Х п є число появ події А в серії з п випробувань.

Сенс теореми Бернуллі полягає в тому, що при необмеженому збільшенні числа однакових незалежних дослідів з практичної вірогідністю можна стверджувати, що частота появи події буде як завгодно мало відрізнятися від імовірності його появи в окремому досвіді ( статистична стійкість ймовірності події). Тому теорема Бернуллі служить перехідним містком від теорії додатків до її застосуванням.

Закон великих чисел

Закон великих чисел в теорії ймовірностей стверджує, що емпіричне середнє (середнє арифметичне) досить великий кінцевої вибірки з фіксованого розподілу близько до теоретичного середнього (математичного сподівання) цього розподілу. Залежно від виду збіжності розрізняють слабкий закон великих чисел, коли має місце збіжність за ймовірністю, і посилений закон великих чисел, коли має місце збіжність майже всюди.

Завжди знайдеться така кількість випробувань, при якому з будь-якої заданої наперед ймовірністю відносна частота появи деякої події буде як завгодно мало відрізнятися від його ймовірності.

Загальний сенс закону великих чисел - спільна дія великого числа випадкових чинників призводить до результату, майже не залежному від випадку.

На цій властивості засновані методи оцінки ймовірності на основі аналізу кінцевої вибірки. Наочним прикладом є прогноз результатів виборів на основі опитування вибірки виборців.

Слабкий закон великих чисел

Нехай є нескінченна послідовність (послідовне перерахування) однаково розподілених і некоррелірованних випадкових величин, визначених на одному імовірнісний просторі. Тобто їх коваріація. Нехай. Позначимо вибіркове середнє перших членів:

Посилений закон великих чисел

Нехай є нескінченна послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин, визначених на одному імовірнісний просторі. Нехай. Позначимо вибіркове середнє перших членів:

.

Тоді майже напевно.

Див. також

література

• Ширяєв А. Н. Імовірність, - М.: Наука. 1989.
• Чистяков В. П. Курс теорії ймовірностей, - М., 1982.

Wikimedia Foundation. 2010 року.

• кінематограф Росії
• Громека, Михайло Степанович

Дивитися що таке "Закон великих чисел" в інших словниках:

ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ - (law of large numbers) У тому випадку, коли поведінка окремих представників населення відрізняється великою своєрідністю, поведінку групи в середньому більш передбачувано, ніж поведінка будь-якого її члена. Тенденція, відповідно до якої групи ... ... економічний словник

ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ - см. ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН. Antinazi. Енциклопедія соціології 2009 ... Енциклопедія соціології

Закон Великих Чисел - принцип, згідно з яким кількісні закономірності, притаманні масовим суспільним явищам, найбільш явно проявляються при досить великій кількості спостережень. Поодинокі явища в більшій мірі схильні до впливу випадкових і ... ... Словник бізнес-термінів

ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ - стверджує, що з імовірністю, близькою до одиниці, середнє арифметичне великого числа випадкових величин приблизно одного порядку буде мало відрізнятися від константи, що дорівнює середньому арифметичному з математичних очікувань цих величин. Разл. ... ... геологічна енциклопедія

закон великих чисел - - [Я.Н.Лугінскій, М.С.Фезі Жилінський, Ю.С.Кабіров. Англо російський словник з електротехніки та електроенергетиці, Москва, 1999 г.] Тематики електротехніка, основні поняття EN law of averageslaw of large numbers ... Довідник технічного перекладача

закон великих чисел - didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. law of large numbers vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. закон великих чисел, m pranc. loi des grands nombres, f ... Fizikos terminų žodynas

ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ - загальний принцип, в силу до якого спільна дія випадкових факторів призводить при недо яких вельми загальних умовах до рез ту, майже не залежному від випадку. Зближення частоти настання випадкової події з його ймовірністю при зростанні числа ... ... Російська соціологічна енциклопедія

Закон великих чисел - закон, який говорить, що сукупна дія великого числа випадкових чинників призводить, при деяких досить загальних умовах, до результату, майже не залежному від випадку ... Соціологія: словник

ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ - статистичний закон, що виражає зв'язок статистичних показників (Параметрів) вибіркової і генеральної сукупності. Фактичні значення статистичних показників, отримані за деякою вибіркою, завжди відрізняються від т.зв. теоретичних ... ... Соціологія: Енциклопедія

ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ - принцип, за яким частота фінансових втрат певного виду може бути передбачена з високою точністю тоді, коли є велика кількість втрат аналогічних видів ... Енциклопедичний словник економіки та права

книги

• Комплект таблиць. Математика. Теорія ймовірностей і математична статистика. 6 таблиць + методика,. Таблиці віддруковані на щільному поліграфічному картоні розміром 680 х 980 мм. У комплект входить брошура з методичними рекомендаціями для вчителя. Навчальний альбом з 6 аркушів. Випадкові ...

Середня величина є узагальнюючим показником в статистиці. Це пов'язано з тим, що з її допомогою можна охарактеризувати сукупність по кількісно варьирующему ознакою. Наприклад, для порівняння заробітної плати робітників двох підприємств не може бути взята заробітна плата двох конкретних робочих, оскільки вона виступає варьирующим показником. Також не може бути взята загальна сума заробітної плати, виплаченої на підприємствах, так як вона залежить від кількості працюючих. Якщо ж ми розділимо загальну суму заробітної плати кожного підприємства на чисельність працюючих, то зможемо їх порівняти і визначити, на якому підприємстві середня заробітна плата вище.

Іншими словами заробітна плата досліджуваної сукупності робітників отримує узагальнену характеристику в середній величині. У ній виражається то загальне і типове, що характерне для сукупності робочих щодо досліджуваного ознаки. Вона в цій величині показує загальну міру цієї ознаки, що має різне значення у одиниць сукупності.

Визначення середньої величини. Середньою величиною в статистиці називається узагальнена характеристика сукупності однотипних явищ по якій-небудь кількісно варьирующему ознакою. Середня величина показує рівень цієї ознаки, віднесений до одиниці сукупності. За допомогою середньої величини можна порівнювати між собою різні сукупності по варьирующим ознаками (доходи на душу населення, врожайність сільськогосподарських культур, собівартість виробництва продукції на різних підприємствах).

Середня величина завжди узагальнює кількісну варіацію ознаки, яким ми характеризуємо досліджувану сукупність, і який в рівній мірі притаманний усім одиницям сукупності. Значить, за будь-якої середньою величиною завжди ховається ряд розподілу одиниць сукупності за яким - то варьирующему ознакою, тобто варіаційний ряд. В цьому відношенні середня величина принципово відрізняється від відносних величин і, зокрема від показників інтенсивності. Показник інтенсивності - відношення обсягів двох різних сукупностей (наприклад, виробництво ВВП на душу населення), в той час як середня - узагальнює характеристику елементів сукупності за однією з ознак (наприклад, середня заробітна плата робітника).

Середня величина і закон великих чисел. У зміні середніх показників проявляється загальна тенденція, під впливом якої складається процес розвитку явищ в цілому, в окремих же індивідуальних випадках ця тенденція може і не виявитися явно. Важливо, щоб середні величини були засновані на масовому узагальненні фактів. Тільки за цієї умови вони виявлять загальну тенденцію, що лежить в основі процесу загалом.

У всі більш повне погашення відхилень, породжуваних випадковими причинами, у міру збільшення числа спостережень виявляється сутність закону великих чисел і його значення для середніх величин. Тобто закон великих чисел створює умови, щоб в середній величині проявився типовий рівень варьирующего ознаки в конкретних умовах місця і часу. Величина цього рівня визначається сутністю цього явища.

Види середніх величин. Середні величини, що застосовуються в статистиці, належать до класу статечних середніх, загальна формула яких має наступний вигляд:

Де х - статечна середня;

Х - мінливі величини ознаки (варіанти)

- число варіант

Показник ступеня середньої;

Знак підсумовування.

При різних значеннях показника ступеня середньої виходять різні види середньої величини:

Середня арифметична;

Середня квадратична;

Середня кубічна;

Середня гармонійна;

Середня геометрична.

Різні види середньої величини мають різні значення при використанні одних і тих самих вихідних статистичних матеріалів. При цьому, чим більше показник ступеня середньої, тим вище її величина.

У статистиці правильну характеристику сукупності в кожному окремому випадку дає тільки цілком певний вид середніх величин. Для визначення цього виду середньої величини використовується критерій, який визначає властивості середньої: середня величина тільки тоді буде вірною узагальнюючої характеристикою сукупності по варьирующему ознакою, коли при заміні всіх варіант середньою величиною загальний обсяг варьирующего ознаки залишається незмінним. Тобто правильний вид середньої визначається тим, як утворюється загальний обсяг варьирующего ознаки. Так, середня арифметична застосовується тоді, коли обсяг варьирующего ознаки утворюється як сума окремих варіант, середня квадратична - коли обсяг варьирующего ознаки утворюється як сума квадратів, середня гармонійна - як сума зворотних значень окремих варіант, середня геометрична - як твір окремих варіант. Крім середніх величин в статистиці

Застосовують описові характеристики розподілу варьирующего ознаки (структурні середні), моду (найбільш часто зустрічається варіанту) і медіану (серединна варіанту).

Чи не втратьте. Підпишіться і отримайте посилання на статтю собі на пошту.

Взаємодіючи щодня в роботі чи навчанні з цифрами і числами, багато хто з нас навіть не підозрюють про те, що існує дуже цікавий закон великих чисел, застосовуваний, наприклад, в статистиці, економіці і навіть психолого-педагогічних дослідженнях. Він відноситься до теорії ймовірностей і говорить про те, що середнє арифметичне будь-якої великої вибірки з фіксованого розподілу близько до математичного сподівання цього розподілу.

Ви, напевно, помітили, що зрозуміти сутність цього закону непросто, особливо тим, хто не особливо дружить з математикою. Виходячи з цього, ми б хотіли розповісти про нього простою мовою (Наскільки це можливо, звичайно), щоб кожен міг хоча б приблизно усвідомити для себе, що це таке. Ці знання допоможуть вам краще розібратися в деяких математичних закономірностях, стати більш ерудованим і позитивним чином вплинути на.

Поняття закону великих чисел та його трактування

Крім розглянутого нами вище визначення закону великих чисел в теорії ймовірностей, можна привести і його економічне тлумачення. У цьому випадку він являє собою принцип, згідно з яким частоту фінансових втрат конкретного виду можна передбачити з високим ступенем достовірності тоді, коли спостерігається високий рівень втрат подібних видів взагалі.

Крім цього, в залежності від рівня збіжності ознак можна виділити слабкий і посилений закони великих чисел. Про слабкому мова йде, Коли збіжність існує по ймовірності, а про посилене - коли збіжність існує практично у всьому.

Якщо інтерпретувати трохи інакше, то слід сказати так: завжди можна знайти таке кінцеве число випробувань, де з будь запрограмованої наперед ймовірністю менше одиниці відносна частота появи якоїсь події буде вкрай мало відрізнятися від його ймовірності.

Таким чином, загальну суть закону великих чисел можна виразити так: результатом комплексної дії великої кількості однакових і незалежних випадкових чинників буде такий результат, який не залежить від випадку. А якщо говорити ще більш простою мовою, то в законі великих чисел кількісні закономірності масових явищ будуть явно проявлятися тільки при великому їх числі (тому і називається закон законом великих чисел).

Звідси можна зробити висновок, що сутність закону полягає в тому, що в числах, які виходять при масовому спостереженні, є деякі правильності, виявити які в невеликій кількості фактів неможливо.

Сутність закону великих чисел і його приклади

Закон великих чисел висловлює найбільш загальні закономірності випадкового і необхідного. Коли випадкові відхилення «гасять» один одного, середні показники, визначені для однієї і тієї ж структури, набувають форму типових. Вони відображають дії істотних і постійних фактів в конкретних умовах часу і місця.

Певні допомогою закону великих чисел закономірності сильні тільки тоді, коли представляють масові тенденції, і вони не можуть бути законами для окремих випадків. Так, вступає в силу принцип математичної статистики, що говорить, що комплексна дія ряду випадкових факторів здатне стати причиною невипадкового результату. І найбільш яскравий приклад дії даного принципу - це зближення частоти настання випадкової події і його ймовірності, коли зростає кількість випробувань.

Давайте згадаємо звичайне кидання монетки. Теоретично орел і решка можуть випасти з однієї і тієї ж ймовірністю. Це означає, що якщо, наприклад, кинути монетку 10 разів, 5 з них повинна випасти решка і 5 - орел. Але кожен знає, що так не відбувається практично ніколи, адже співвідношення частоти випадання орла і решки може бути і 4 до 6, і 9 до 1, і 2 до 8 і т.д. Однак зі збільшенням кількості підкидань монетки, наприклад, до 100, ймовірність того, що випаде орел чи решка, досягає 50%. Якщо ж теоретично проводити нескінченну кількість подібних дослідів, ймовірність випадання монетки обома сторонами завжди буде прагнути до 50%.

На те, як саме впаде монетка, впливає величезна кількість випадкових факторів. Це і положення монетки на долоні, і сила, з якою відбувається кидок, і висота падіння, і його швидкість і т.д. Але якщо дослідів багато, незалежно від того, як впливають фактори, завжди можна стверджувати, що практична ймовірність близька до ймовірності теоретичної.

А ось ще один приклад, який допоможе зрозуміти сутність закону великих чисел: припустимо, що нам потрібно оцінити рівень заробітку людей в якомусь регіоні. Якщо ми будемо розглядати 10 спостережень, де 9 осіб отримують 20 тис. Рублів, а 1 людина - 500 тис. Рублів, середнє арифметичне складе 68 тис. Рублів, що, природно, малоймовірно. Але якщо ми візьмемо до уваги 100 спостережень, де 99 осіб отримують 20 тис. Рублів, а 1 людина - 500 тис. Рублів, то при розрахунку середнього арифметичного отримаємо 24,8 тис. Рублів, що вже ближче до реального стану справ. Збільшуючи число спостережень, ми будемо змушувати середнє значення прагнути до справжнього показником.

Саме з цієї причини для застосування закону великих чисел в першу чергу необхідно набрати статистичний матеріал, щоб отримувати правдиві результати, вивчаючи велику кількість спостережень. Тому-то і зручно використовувати цей закон, знову ж таки, в статистиці або соціальної економіці.

Підведемо підсумки

Значення того, що закон великих чисел працює, складно переоцінити для будь-якої області наукового знання, і особливо для наукових розробок в області теорії статистики і методів статистичного пізнання. Дія закону також володіє великим значенням і для самих досліджуваних об'єктів з їх масовими закономірностями. На законі великих чисел і принципі математичній статистиці ґрунтуються практично всі методи статистичного спостереження.

Але, навіть не беручи до уваги науку і статистику як такі, можна сміливо зробити висновок, що закон великих чисел - це не просто явище з області теорії ймовірностей, але феномен, з яким ми стикаємося практично щодня в своєму житті.

Сподіваємося, тепер сутність закону великих чисел стала вам більш зрозуміла, і ви зможете легко і просто пояснити його комусь іншому. А якщо тема математики і теорії ймовірностей вам цікава в принципі, то рекомендуємо почитати про і. Також познайомтеся з і. І, звичайно ж, зверніть увагу на наш, адже, пройшовши його, ви не тільки опануєте новими техніками мислення, але і поліпшите свої когнітивні здібності в цілому, в тому числі і математичні.