Імовірність поліпшити свій результат в одній спробі. Теорія ймовірностей методичка
, Кримінально-процесуальний кодекс Російської Федерації від 18.1.rtf, Основи законодавства України про охорону здоров'я, ЄСПЛ. Правовий механізм подання заяви та правові.
Заняття 4. Теорема додавання ймовірностей.
14.1. Коротка теоретична частина
Імовірність суми двох подій визначається за формулоюP ( A+В) \u003d Р ( A) + Р ( B) - Р ( AB),
яка узагальнюється на суму будь-якого числа подій
Для несумісних подій ймовірність суми подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, т. Е..
24.2. тест
В якому випадку події А і В називаються несумісними або несумісними?
б) Коли хоча б одне з цих подій відбудеться в ході випробування
в) Коли спільне поява цих подій неможливо
г) Коли обидві ці події відбудуться в ході досвіду
Вкажіть події, які є сумісними.
б) Присутність одного і того ж студента одночасно на лекції в аудиторії і в кінотеатрі
в) Наступ весни за календарем і випадання снігу
г) Поява на випала межі кожної з двох гральних кісток трьох очок і рівність суми очок на випавших гранях обох кісток непарному числу
д) Показ по одному каналу телебачення футбольного матчу, а по іншому - випуску новин
Теорема додавання ймовірностей несумісних подій формулюється так:
б) Імовірність появи одного з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій
в) Імовірність появи одного з двох несумісних подій дорівнює різниці ймовірностей появи цих подій
Теорема додавання ймовірностей сумісних подій формулюється так:
б) Імовірність появи хоча б одного з двох спільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх спільного появи
в) Імовірність появи хоча б одного з двох спільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій і ймовірності їх спільного появи
Теорема додавання ймовірностей узагальнюється на суму будь-якого числа подій і ймовірність суми подій в загальному вигляді визначається за формулою:
Якщо події, є несумісними, то ймовірність суми цих подій дорівнює:
б)
в)
34.3. Рішення типових задач
приклад 4.1. Визначити ймовірність того, що партія зі ста виробів, серед яких п'ять бракованих, буде прийнята при випробуванні навмання обраної половини всієї партії, якщо умовами прийому допускається бракованих виробів не більше одного з п'ятдесяти.Рішення.
З, Що складається в тому, що партія зі ста виробів, серед яких п'ять бракованих, буде прийнята при випробуванні навмання обраної половини всієї партії.
позначимо через А подія, яка полягає в тому, що при випробуванні ніхто не почув жодного бракованого вироби, а через В - подія, яка полягає в тому, що отримано тільки одне браковане виріб.
Так як С \u003d А + В, то шукана ймовірність P (C) \u003d Р ( А+B).
події А і В несумісні. Тому P (C) \u003d Р ( А) + Р ( B).
З 100 виробів 50 можна вибрати способами. З 95 небракованних виробів 50 можна вибрати способами.
Тому Р ( A)=.
Аналогічно Р ( B)= .
P (C) \u003d Р ( А) + Р ( B)=+==0,181.
приклад 4.2.
Електричне коло між точками М і N складена за схемою, наведеною на рис. 5.
Вихід з ладу за час Т різних елементів ланцюга - незалежні події, що мають такі ймовірності (табл. 1).
Таблиця 1
елемент K 1
K 2
Л 1
Л 2
Л 3
Вероятность0,60,50,40,70,9Определіть ймовірність розриву ланцюга за вказаний проміжок часу.
Рішення.
Введемо в розгляд подія З, Що складається в тому, що за вказаний проміжок часу буде розрив ланцюга.
позначимо через A j (j\u003d 1,2) подія, що складається у виході з ладу елемента До j , через А - вихід з ладу хоча б одного елемента До j , А через В - вихід з ладу всіх трьох елементів А i (i=1, 2, 3).
Тоді шукана ймовірність
Р ( З) \u003d Р ( A + В) \u003d Р ( A) + Р ( В) - Р ( A) Р ( B).
Р ( A) \u003d Р ( A 1 ) + Р ( A 2 ) - Р ( A 1 ) Р ( A 2 ) = 0,8,
Р ( В) \u003d Р ( Л 1 ) Р ( Л 2 ) Р ( Л 3 ) = 0,252,
то.
приклад 4.3.
В урні є n білих, m чорних і l червоних куль, які витягуються навмання по одному:
а) без повернення;
б) з поверненням після кожного вилучення.
Визначити в обох випадках ймовірності того, що біла куля буде витягнутий раніше чорного.
Рішення.
нехай Р 1 - ймовірність того, що біла куля буде витягнутий раніше чорного, а Р 11 - ймовірність того, що чорна куля буде витягнутий раніше білого.
імовірність Р 1 є сумою ймовірностей вилучення білого кулі відразу, після вилучення одного червоного, двох червоних і т. д. Таким чином, можна записати в разі, коли кулі не повертаються,
а при поверненні куль
Для отримання ймовірностей Р 11
в попередніх формулах потрібно зробити заміну n на m, а m на n. Звідси випливає, що в обох випадках Р 1
:Р 11
= n:m. Так як, крім того, Р 1
+Р 11
\u003d 1, то шукана ймовірність при добуванні куль без повернення також дорівнює.
приклад 4.4.
хтось написав n листів, запечатав їх в конверти, а потім навмання на кожному з них написав різні адреси. Визначити ймовірність того, що хоча б на одному з конвертів написаний правильну адресу.
Рішення.
нехай подія A k полягає в тому, що на k-м конверті написано правильну адресу ( k\u003d L, 2, ..., n).
Шукана ймовірність.
події A k сумісні; при будь-яких різних k, j, i, ... мають місце рівності:
Використовуючи формулу для ймовірності суми n подій, отримуємо
при великих n.
44.4. Завдання для самостійної роботи
4.1. Кожне з чотирьох несумісних подій може статися відповідно з можливостями 0,012, 0,010, 0,006 і 0,002. Визначити ймовірність того, що в результаті досвіду станеться хоча б одне з цих подій.(відповідь:
p \u003d 0,03)
4.2. Стрілець виробляє один постріл в мішень, що складається з центрального кола і двох концентричних кілець. Ймовірності попадання в коло і кільця відповідно рівні 0,20, 0,15 і 0,10. Визначити ймовірність непотрапляння в мішень.
(відповідь:
p \u003d 0,55)
4.3. Дві однакові монети радіусу r розташовані всередині кола радіуса R, В який навмання кидається точка. Визначити ймовірність того, що ця точка впаде на одну з монет, якщо монети не перекриваються.
(відповідь:
p \u003d)
4.4. Яка ймовірність витягти з колоди в 52 карти фігуру будь-якої масті або карту пікової масті (фігурою називається валет, дама або король)?
(відповідь:
p \u003d)
4.5. У ящику є 10 монет по 20 коп., 5 монет по 15 коп. і 2 монети по 10 коп. Навмання беруться шість монет. Яка ймовірність, що в сумі вони складуть не більше одного рубля?
(відповідь:
p \u003d)
4.6. У двох урнах знаходяться кулі, що відрізняються тільки кольором, причому в першій урні 5 білих куль, 11 чорних і 8 червоних, а в другій відповідно 10, 8 і 6. З обох урн навмання витягується по одній кулі. Яка ймовірність, що обидві кулі одного кольору?
(відповідь:
p \u003d 0,323)
4.7. гра між A і B ведеться на наступних умовах: в результаті першого ходу, який завжди робить А, Він може виграти з ймовірністю 0,3; якщо першим ходом A не вигравав, то хід робить В і може виграти з ймовірністю 0,5; якщо в результаті цього ходу В не вигравав, то A робить другий хід, який може привести до його виграшу з ймовірністю 0,4. Визначити ймовірності виграшу для А і для В.
(відповідь:
= 0,44, = 0,35)
4.8. Імовірність для даного спортсмена поліпшити свій попередній результат з однієї спроби дорівнює р. Визначити ймовірність того, що на змаганнях спортсмен поліпшить свій результат, якщо дозволяється робити дві спроби.
(відповідь:
p (А) \u003d)
4.9. З урни, що містить n куль з номерами від 1 до n, Послідовно витягають дві кулі, причому перший шар повертається, якщо його номер не дорівнює одиниці. Визначити ймовірність того, що куля з номером 2 буде витягнутий при другому витягу.
(відповідь:
p \u003d)
4.10. гравець А по черзі грає з гравцями В і З, Маючи ймовірність виграшу в кожній партії 0,25, і припиняє гру після першого програшу або після двох партій, зіграних з кожним гравцем. Визначити ймовірності виграшу Ві З.
(відповідь:
)
4.11. Двоє по черзі кидають монету. Виграє той, у якого раніше з'явиться герб. Визначити ймовірності виграшу для кожного з гравців.
(відповідь:
)
4.12. Імовірність отримати очко, не втрачаючи подачі, при грі двох рівносильних волейбольних команд дорівнює половині. Визначити ймовірність отримання одного очка для команди, що подає.
(відповідь:
p \u003d)
4.13. Два стрільці по черзі стріляють по мішені до першого попадання. Ймовірність влучення для першого стрільця дорівнює 0,2, а для другого дорівнює 0,3. Знайти ймовірність того, що перший стрілок зробить більше пострілів, ніж другий.
(відповідь:
p \u003d 0,455)
4.14. Двоє грають до перемоги, причому для цього необхідно першому виграти т партій, а другого п партій. Імовірність виграшу кожної партії першим гравцем дорівнює р, А другим q=1-р. Визначити ймовірність виграшу всієї гри першим гравцем.
(відповідь: p (A) \u003d)
1. У першому ящику 2 білих і 10 чорних куль; у другому ящику 8 білих і 4 чорних кулі. З кожного ящика вийняли по кулі. Яка ймовірність, що обидві кулі білі?
2. У першому ящику 2 білих і 10 чорних куль; у другому ящику 8 білих і 4 чорних кулі. З кожного ящика вийняли по кулі. Яка ймовірність, що один шар білий, а другий чорний?
3. У ящику 6 білих і 8 чорних куль. З ящика вийняли два кулі (Не повертаючи вийнятий кулю в ящик). Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.
4. Три стрілка незалежно один від одного стріляють по цілі. Ймовірність влучення в ціль для першого стрільця дорівнює 0,75, для другого - 0,8, для третього - 0,9. Визначити ймовірність того, що всі три стрілка одночасно потраплять в ціль; в ціль потрапить хоча б один стрілець.
5. В урні 9 білих і 1 чорна куля. Вийняли відразу три кулі. Яка ймовірність того, що всі кулі білі?
6. Проводять три постріли по одній мішені. Ймовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0,5. Знайти ймовірність того, що в результаті цих пострілів відбудеться тільки одне влучення.
7. Два стрільці, для яких ймовірності попадання в мішень рівні відповідно 0,7 і 0,8, виробляють по одному пострілу. Визначити ймовірність хоча б одного влучення в мішень.
8. Імовірність того, що виготовлена \u200b\u200bна першому верстаті деталь буде першосортною, дорівнює 0,7, При виготовленні такої ж деталі на другому верстаті ця ймовірність дорівнює 0,8. На першому верстаті виготовлено дві деталі, на другому три. Знайти ймовірність того, що всі деталі першосортні.
9. Робота приладу припинилася внаслідок виходу з ладу однієї лампи з п'яти . Відшукання цієї лампи проводиться шляхом почергової заміни кожної лампи нової. Визначити ймовірність того, що доведеться перевіряти 2 лампи, якщо ймовірність виходу з ладу кожної лампи дорівнює р \u003d 0,2 .
10. На ділянці АВдля мотоцикліста-гонщика є 12 перешкод, ймовірність зупинки на кожному з яких дорівнює 0,1. Імовірність того, що від пункту Вдо кінцевого пункту Змотоцикліст проїде без зупинки, дорівнює 0,7. Визначити ймовірність того, що на ділянці АСне буде жодної зупинки.
11. На шляху автомобіля 4 світлофора. Імовірність зупинитися на перших двох 0,3, а на наступних двох 0,4. Яка ймовірність проїхати світлофори без зупинок?
12. На шляху автомобіля 3 світлофора. Імовірність зупинитися на перших двох 0,4, а на третьому 0,5. Яка ймовірність проїхати світлофори з однією зупинкою?
13. Два сервера мережі в Інтернет наражаються на небезпеку вірусної атаки за добу з ймовірністю 0,3. Яка ймовірність, що за 2 доби на них не було жодної атаки?
14. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі для даного стрілка дорівнює 2/3, Якщо при першому пострілі зафіксовано потрапляння, то стрілець отримує право на другий. Якщо при другому він знову потрапить, то стріляє втретє. Яка ймовірність потрапити при трьох пострілах?
15. Гра між Аі Введеться на наступних умовах: в результаті першого ходу, який завжди робить А,він може виграти з ймовірністю 0,3; якщо першим ходом Ане вигравав, то хід робить Ві може виграти з ймовірністю 0,5; якщо в результаті цього ходу Вне вигравав, то Аробить другий хід, який може привести до його виграшу з ймовірністю 0,4. Визначити ймовірності виграшу для Аі для В.
16. Імовірність для даного спортсмена поліпшити свій попередній результат з однієї спроби дорівнює 0,2 . Визначити ймовірність того, що на змаганнях спортсмен поліпшить свій результат, якщо дозволяється робити дві спроби.
17. Гравець Апо черзі грає по дві партії з гравцями Ві С.Ймовірності виграшу першої партії для Ві Зрівні 0,1 і 0,2 відповідно; ймовірність виграти в другій партії для Вдорівнює 0,3, для Здорівнює 0,4. Визначити ймовірність того, що: а) першим виграє В; б) першим виграє С.
18. З урни, що містить пкуль з номерами від 1 до n, Послідовно витягають дві кулі, причому перший повертається, якщо його номер не дорівнює одиниці. Визначити ймовірність того, що куля з номером 2 буде витягнутий при другому витягу.
19. Гравець Апо черзі грає з гравцями В і С, маючи ймовірність виграшу в кожній партії 0,25, і припиняє гру після першого виграшу або після двох партій, програних з будь-якого з гравців. Визначити ймовірності виграшу В і С.
20. Двоє по черзі кидають монету. Виграє той, у. якого раніше з'явиться герб. Визначити ймовірності виграшу для кожного з гравців.
21. В урні є 8белих і 6черних куль. Два гравці послідовно дістають по одній кулі, повертаючи кожен раз витягнутий кулю. Гра продовжується до тих пір, покакто-небудь з них не дістане біла куля. Визначити ймовірність того, що першим витягне біла куля гравець, який розпочинає гру.
22. посланий кур'єр за документами в 4 архіву. Імовірність наявності потрібних документа в I-oм архіві - 0,9; в II-му - 0,95; в III-му - 0,8; в IV - му - 0,6. Знайти ймовірність Р відсутності документа тільки в одному архіві.
23. Знайти ймовірність того, що відмовлять два з трьох незалежно працюючих елементів обчислювального пристрою, якщо ймовірність відмови першого, другого і третього елементів відповідно дорівнюють 0,3, 0,5, 0,4.
24. У клітці 8 білих і 4 сірі миші. Для лабораторного дослідження випадково відбирають трьох мишей, які не повертаючи назад. Знайти ймовірність того, що всі три миші білі.
25. У клітці 8 морських свинок. Три з них страждають порушенням обміну мінеральних солей. Послідовно без повернення дістають трьох тварин. Яка ймовірність, що вони здорові?
26. У ставку містяться 12 карасів, 18 лящів і 10 коропів. Виловили три риби. Знайти ймовірність того, що виловили послідовно двох коропів і карася.
27. У стаді 12 корів, з них 4 - симентальської породи, решта - галштіно-фрізтской породи. Для селекційної роботи відібрали трьох тварин. Знайти ймовірність того, що серед них все три симентальської породи.
28. На іподромі містяться 10 гнідих коней, 3 - сірих в яблуко і 7 білих. Для забігу випадковим чином відібрані 2 коні. Яка ймовірність того, що серед них немає білому коні?
29. У розпліднику містяться 9 собак, з них 3 коллі, 2 боксера, інші - доги. Випадковим чином відбирають трьох собак. Яка ймовірність того, що серед них хоча б один боксер?
30. Середній приплід тварин дорівнює 4. Поява особин жіночої та чоловічої статі равновероятно. Знайти ймовірність того, що в приплоді дві особини чоловічої статі.
31. У пакеті знаходяться насіння, схожість яких дорівнює 0,85. Імовірність того, що рослина зацвіте, дорівнює 0,9. Яка ймовірність того, що рослина, яка виросла з навмання взятого насіння, зацвіте?
32. У пакеті знаходяться насіння бобів, схожість яких дорівнює 0,9. Імовірність того, що квіти бобів будуть червоного кольору, дорівнює 0,3. Яка ймовірність того, що рослина з обраного навмання насіння матиме червоні квіти?
33. Імовірність того, що випадково обраний людина протягом наступного місяця потрапить до лікарні, дорівнює 0,01. Яка ймовірність того, що з трьох випадково обраних на вулиці людей протягом наступного місяця в точності один буде покладено в лікарню?
34. Доярка обслуговує 4 корови. Вірогідність захворіти на мастит протягом місяця для першої корови дорівнює 0,1, для другої - 0,2, для третьої - 0,2, для четвертої 0,15. Знайти ймовірність того, що протягом місяця хоча б одна корова захворіє на мастит.
35. Чотири мисливця домовилися стріляти по дичині по черзі. Наступний мисливець робить постріл лише в разі промаху попереднього. Ймовірності попадання в ціль кожним з мисливців однакові і рівні 0,8. Знайти ймовірність того, що буде зроблено три постріли.
36. Студент вивчає хімію, математику та біологію. Він оцінює, що ймовірності отримати «відмінно» за цим курсам рівні відповідно 0,5, 0,3 і 0,4. У припущенні, що оцінки з цих курсів незалежні, знайти ймовірність того, що він не отримає жодної оцінки «відмінно».
37. Студент знає 20 з 25 питань програми. Яка ймовірність того, що він знає все три питання програми, запропоновані йому екзаменатором?
38. Два мисливця стріляють в вовка, причому кожен робить по одному пострілу. Ймовірності попадання в ціль першим і другим мисливцем рівні відповідно 0,7 і 0,8. Яка ймовірність попадання в вовка хоча б при одному пострілі?
39. Ймовірність влучення в мішень при трьох пострілах хоча б один раз для деякого стрілка дорівнює 0,875. Знайти ймовірність влучення при одному пострілі.
40. З стада відбирають високопродуктивних корів. Імовірність того, що випадково відібране тварина виявиться високопродуктивним, дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що з трьох відібраних корів тільки дві будуть високопродуктивними.
41. У першій клітині 3 білих і 4 сірих кролика, в другій клітці 7 білих і 5 чорних кроликів. З кожної клітини навмання взяли по одному кролику. Яка ймовірність того, що обидва кролика білі?
42. Вивчалася ефективність двох вакцин на групі тварин. Обидві вакцини можуть викликати алергію у тварин з рівними можливостями 0,2. Знайти ймовірність того, що вакцини не викличуть алергію.
43. У сім'ї троє дітей. Беручи події, що складаються в народженні хлопчика і дівчинки рівноімовірними, знайти ймовірність того, що в сім'ї всі діти однієї статі.
44. Імовірність встановлення в даній місцевості стійкого снігового покриву з жовтня дорівнює 0,1. Визначити ймовірність того, що в найближчі три роки в цій місцевості стійкий сніговий покрив з жовтня встановиться, по крайней мере, один раз.
45. Визначити ймовірність того, що вибране навмання виріб є першосортним, якщо відомо, що 4% всієї продукції є шлюбом, а 75% небракованних виробів задовольняють вимогам першого сорту.
46. \u200b\u200bДва стрільці, для яких ймовірності попадання в мішень рівні відповідно 0,7 і 0,8, виробляють по одному пострілу. Визначити ймовірність хоча б одного влучення в мішень.
47. Імовірність настання події в кожному досвіді однакова і дорівнює 0,2. Досліди проводяться послідовно до настання події. Визначити ймовірність того, що доведеться робити четвертий досвід.
48. Імовірність того, що виготовлена \u200b\u200bна першому верстаті деталь буде першосортною, дорівнює 0,7. При виготовленні такої ж деталі на другому верстаті ця ймовірність дорівнює 0,8. На першому верстаті виготовлено дві деталі, на другому три. Знайти ймовірність того, що всі деталі першосортні.
49. Розрив електричного кола може статися при виході з ладу елемента або двох елементів і, які виходять з ладу незалежно один від одного відповідно з можливостями 0,3; 0,2 і 0,2. Визначити ймовірність розриву електричного кола.
50. Робота приладу припинилася внаслідок виходу з ладу однієї лампи з 10-ти. Відшукання цієї лампи проводиться шляхом почергової заміни кожної лампи нової. Визначити ймовірність того, що доведеться перевірити 7 ламп, якщо ймовірність виходу з ладу кожної лампи дорівнює 0,1.
51. Імовірність того, що в електричному ланцюзі напругу перевищить номінальне значення, дорівнює 0,3. При підвищеній напрузі ймовірність аварії приладу - споживача електричного струму дорівнює 0,8. Визначити ймовірність аварії приладу внаслідок підвищення напруги.
52. Ймовірність влучення в першу мішень для даного стрілка дорівнює 2/3. Якщо при першому пострілі зафіксовано потрапляння, то стрілець отримує право на постріл по інший мішені. Імовірність поразки обох мішеней при двох пострілах дорівнює 0,5. Визначити ймовірність ураження другий мішені.
53. За допомогою шести карток, на яких написано по одній букві, складено слово «карета». Картки перемішуються, а потім навмання витягуються по одній. Яка ймовірність, що в порядку надходження букв утворюється слово «ракета»?
54. Абонент забув останню цифру номера телефону і тому набирає її навмання. Визначити ймовірність того, що йому доведеться дзвонити не більше ніж в три місця.
55. Кожне з чотирьох несумісних подій може статися відповідно з можливостями 0,012; 0,010; 0,006 і 0,002. Визначити ймовірність того, що в результаті досвіду станеться хоча б одне з цих подій.
56. Яка ймовірність витягти з колоди в 52 карти фігуру будь-якої масті або карту пікової масті (фігурою називається валет, дама або король)?
57. У ящику є 10 монет по 20 коп., 5 монет по 15 коп. і 2 монети по 10 коп. Навмання беруться 6 монет. Яка ймовірність, що в сумі вони складуть не більше одного рубля?
58. У двох урнах знаходяться кулі: в першій 5 білих, 11 чорних і 8 червоних, а в другій відповідно 10, 8 і 6. З обох урн навмання витягується по одній кулі. Яка ймовірність того, що обидві кулі одного кольору?
59. Імовірність для даного спортсмена поліпшити свій попередній результат з однієї спроби дорівнює 0,4. Визначити ймовірність того, що на змаганнях спортсмен поліпшить свій результат, якщо дозволяється робити дві спроби.
4.1. Кожне з чотирьох несумісних подій може статися відповідно з можливостями 0,012, 0,010, 0,006 і 0,002. Визначити ймовірність того, що в результаті досвіду станеться хоча б одне з цих подій.
(Відповідь: p \u003d 0,03)
4.2. Стрілець виробляє один постріл в мішень, що складається з центрального кола і двох концентричних кілець. Ймовірності попадання в коло і кільця відповідно рівні 0,20, 0,15 і 0,10. Визначити ймовірність непотрапляння в мішень.
(Відповідь: p \u003d 0,55)
4.3. Дві однакові монети радіуса r розташовані всередині кола радіуса R, в який навмання кидається точка. Визначити ймовірність того, що ця точка впаде на одну з монет, якщо монети не перекриваються.
(Відповідь: p \u003d)
4.4. Яка ймовірність витягти з колоди в 52 карти фігуру будь-якої масті або карту пікової масті (фігурою називається валет, дама або король)?
(Відповідь: p \u003d 
)
4.5. У ящику є 10 монет по 20 коп., 5 монет по 15 коп. і 2 монети по 10 коп. Навмання беруться шість монет. Яка ймовірність, що в сумі вони складуть не більше одного рубля?
(Відповідь: p \u003d 
)
4.6. У двох урнах знаходяться кулі, що відрізняються тільки кольором, причому в першій урні 5 білих куль, 11 чорних і 8 червоних, а в другій відповідно 10, 8 і 6. З обох урн навмання витягується по одній кулі. Яка ймовірність, що обидві кулі одного кольору?
(Відповідь: p \u003d 0,323)
4.7. Гра між A і B ведеться на наступних умовах: в результаті першого ходу, який завжди робить А, він може виграти з ймовірністю 0,3; якщо першим ходом A не вигравав, то хід робить В і може виграти з ймовірністю 0,5; якщо в результаті цього ходу В не виграє, то A робить другий хід, який може привести до його виграшу з ймовірністю 0,4. Визначити ймовірності виграшу для А і для В.
(Відповідь: 
= 0,44, = 0,35)
4.8. Імовірність для даного спортсмена поліпшити свій попередній результат з однієї спроби дорівнює р. Визначити ймовірність того, що на змаганнях спортсмен поліпшить свій результат, якщо дозволяється робити дві спроби.
(Відповідь: p (А) \u003d)
4.9. З урни, що містить n куль з номерами від 1 до n, послідовно витягають дві кулі, причому перший шар повертається, якщо його номер не дорівнює одиниці. Визначити ймовірність того, що куля з номером 2 буде витягнутий при другому витягу.
(Відповідь: p \u003d)
4.10. Гравець А по черзі грає з гравцями В і С, маючи ймовірність виграшу в кожній партії 0,25, і припиняє гру після першого програшу або після двох партій, зіграних з кожним гравцем. Визначити ймовірності виграшу В і С.
4.11. Двоє по черзі кидають монету. Виграє той, у якого раніше з'явиться герб. Визначити ймовірності виграшу для кожного з гравців.
(Відповідь: 
)
4.12. Імовірність отримати очко, не втрачаючи подачі, при грі двох рівносильних волейбольних команд дорівнює половині. Визначити ймовірність отримання одного очка для команди, що подає.
(Відповідь: p \u003d)
4.13. Два стрільці по черзі стріляють по мішені до першого попадання. Ймовірність влучення для першого стрільця дорівнює 0,2, а для другого дорівнює 0,3. Знайти ймовірність того, що перший стрілок зробить більше пострілів, ніж другий.
(Відповідь: p \u003d 0,455)
4.14. Двоє грають до перемоги, причому для цього необхідно першому виграти т партій, а другого п партій. Імовірність виграшу кожної партії першим гравцем дорівнює р, а другим q \u003d 1-р. Визначити ймовірність виграшу всієї гри першим гравцем.
варіант 9
1. На кожній з 6 однакових карток надрукована одна з наступних букв: о, г, о, р, о, д. Картки ретельно перемішані. Знайти ймовірність того, що, розташувавши їх в ряд, можна буде прочитати слово «город».
2. Імовірність для даного спортсмена поліпшити свій попередній результат з 1 спроби дорівнює 0,6. Визначити ймовірність того, що на змаганнях спортсмен поліпшить свій результат, якщо дозволяється робити 2 спроби.
3. У першому ящику міститься 20 деталей, з них 15 стандартних; у другому - 30 деталей, з них 24 стандартних; в третьому - 10 деталей, з них 6 стандартних. Знайти ймовірність того, що навмання витягнута деталь з навмання взятого ящика - стандартна.
4. Вирішити завдання, використовуючи формулу Бернуллі і теореми Муавра-Лапласа: а) при передачі повідомлення ймовірність спотворення 1 знака дорівнює 0,24. Визначити ймовірність того, що повідомлення з 10 знаків містить не більше 3 спотворень;
б) було посаджено 400 дерев. Імовірність того, що окреме дерево приживеться, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що число прижилися дерев: 1) дорівнює 300; 2) більше 310, але менше 330.
5. За табличними даними обчислити математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини X, а також визначити ймовірність того, що випадкова величина прийме значення більше очікуваного.
|
Х i |
||||||
|
Р i |
6. Безперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу
Знайти: а) параметр k; б) математичне сподівання; в) дисперсію.
7. Соціологічна організація проводить опитування працівників підприємства з метою з'ясування ставлення до структурної реорганізації, проведеної керівництвом підприємства. Вважаючи, що частка людей, задоволених структурними перетвореннями, описується нормальним законом розподілу з параметрами a \u003d 53,1% і σ \u003d 3,9%, знайти ймовірність того, що частка людей, задоволених перетвореннями, буде нижче 50%.
8. З генеральної сукупності витягнута вибірка, яка представлена \u200b\u200bу вигляді інтервального варіаційного ряду (див. Таблицю): а) припускаючи, що генеральна сукупність має нормальний розподіл, побудувати довірчий інтервал для математичного очікування з довірчою ймовірністю γ \u003d 0,95; б) обчислити коефіцієнти асиметрії та ексцесу, використовуючи спрощений метод, і зробити відповідні припущення про вид функції розподілу генеральної сукупності; в) використовуючи критерій Пірсона, перевірити гіпотезу про нормальність розподілу генеральної сукупності при рівні значущості α \u003d 0,05.
|
29-32 |
|
|
32-35 |
|
|
35-38 |
|
|
38-41 |
|
|
41-44 |
|
|
44-47 |
|
|
47-50 |
9. Задана кореляційний таблиця величин X і Y: а) обчислити коефіцієнт кореляції r xy, зробити висновки про зв'язок між X і Y; б) знайти рівняння лінійної регресії X на Y і Y на X, а також побудувати їх графіки.
|
5.24-5.35 |
5.35-5.46 |
5.46-5.47 |
5.47-5.68 |
5.68-5.79 |
5.79-5.90 |
5.90-6.01 |
6.01-6.12 |
6.12-6.23 |
||
|
21.3-22.0 |
||||||||||
|
22.0-22.7 |
||||||||||
|
22.7-23.4 |
||||||||||
|
23.4-24.1 |
||||||||||
|
24.1-24.8 |
||||||||||
|
24.8-25.5 |
||||||||||
|
25.5-26.2 |
||||||||||
|
26.2-26.9 |
||||||||||
