Quelle est la loi des moyennes. Valeurs moyennes

Cours 8. Section 1. Théorie des probabilités

Problèmes résolus

1) La loi des grands nombres.

2) Théorème limite central.

La loi des grands nombres.

La loi des grands nombres au sens large s'entend comme le principe général selon lequel, avec un grand nombre de variables aléatoires, leur résultat moyen cesse d'être aléatoire et peut être prédit avec un degré élevé de certitude.

La loi des grands nombres au sens étroit signifie un certain nombre de théorèmes mathématiques, dans chacun desquels, sous certaines conditions, la possibilité d'approcher les caractéristiques moyennes d'un grand nombre de tests est établie

à certaines constantes définies. Dans la démonstration de théorèmes de ce genre, les inégalités de Markov et Chebyshev sont utilisées, qui sont également d'un intérêt indépendant.

Théorème 1 (inégalité de Markov)... Si une variable aléatoire prend des valeurs non négatives et a une espérance mathématique, alors pour tout nombre positif l'inégalité

Preuve tenir pour une variable aléatoire discrète. Nous supposerons qu'il prend des valeurs dont les premières sont inférieures ou égales et toutes les autres sont plus alors

d'où

Exemple 1. Le nombre moyen d'appels au standard de l'usine pendant une heure est de 300. Estimez la probabilité que le nombre d'appels au standard dans l'heure suivante soit:

1) dépassera 400;

2) il n'y en aura pas plus de 500.

Décision. 1) Soit la variable aléatoire le nombre d'appels arrivant au commutateur pendant une heure. La moyenne est. Nous devons donc évaluer. Selon l'inégalité de Markov

2) Ainsi, la probabilité que le nombre d'appels ne dépasse pas 500 n'est pas inférieure à 0,4.

Exemple 2. La somme de tous les dépôts dans une succursale bancaire est de 2 millions de roubles et la probabilité qu'un dépôt prélevé au hasard ne dépasse pas 10 mille roubles est de 0,6. Qu'en est-il du nombre de contributeurs?

Décision. Soit la valeur prise au hasard la taille de la contribution prise au hasard et le nombre de toutes les contributions. Puis (mille). Selon l'inégalité de Markov, d'où

Exemple 3. Soit l'heure à laquelle un étudiant est en retard pour une conférence, et on sait qu'en moyenne, il a 1 minute de retard. Estimez la probabilité que l'élève ait au moins 5 minutes de retard.

Décision.Par hypothèse En appliquant l'inégalité de Markov, on obtient que

Ainsi, sur 5 étudiants, pas plus d'un étudiant aura au moins 5 minutes de retard.

Théorème 2 (inégalité de Chebyshev). .

Preuve. Soit la variable aléatoire X donnée par la série de distribution

Selon la définition de la variance, nous excluons de cette somme les termes pour lesquels ... De plus, depuis tous les termes sont non négatifs, le montant ne peut que diminuer. Pour plus de précision, nous supposerons que le premier k termes. ensuite

Par conséquent, .

L'inégalité de Chebyshev permet d'estimer par dessus la probabilité de déviation d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique en se basant uniquement sur des informations sur sa variance. Il est largement utilisé, par exemple, dans la théorie de l'estimation.

Exemple 4. La pièce est retournée 10 000 fois. Estimez la probabilité que l'incidence des armoiries diffère de 0,01 ou plus.

Décision. Nous introduisons des variables aléatoires indépendantes, où est une variable aléatoire avec une série de distribution

ensuite puisqu'elle est distribuée selon la loi binomiale avec La fréquence d'apparition des armoiries est une variable aléatoire où ... Par conséquent, la variance de la fréquence d'apparition des armoiries est Selon l'inégalité de Chebyshev, .

Ainsi, en moyenne, dans au plus un quart des cas avec 10 000 lancers de pièces de monnaie, la fréquence de chute des armoiries différera d'un centième ou plus.

Théorème 3 (Chebyshev). Si sont des variables aléatoires indépendantes dont les variances sont uniformément bornées (), alors

Preuve. Comme

puis en appliquant l'inégalité de Chebyshev, on obtient

Puisque la probabilité d'un événement ne peut pas être supérieure à 1, nous obtenons celle requise.

Corollaire 1. Si sont des variables aléatoires indépendantes avec des variances uniformément bornées et la même espérance mathématique égale à unepuis

L'égalité (1) suggère que les écarts aléatoires de variables aléatoires indépendantes individuelles par rapport à leur valeur moyenne totale s'annulent mutuellement pour une masse importante. Par conséquent, bien que les quantités elles-mêmes soient aléatoires, leur moyenne dans l'ensemble, il n'est pratiquement plus accidentel et proche de. Cela signifie que s'il n'est pas connu à l'avance, il peut être calculé à l'aide de la moyenne arithmétique. Cette propriété des séquences de variables aléatoires indépendantes est appelée la loi de stabilité statistique. La loi de stabilité statistique justifie la possibilité d'utiliser l'analyse des statistiques lors de la prise de décisions de gestion spécifiques.

Théorème 4 (Bernoulli). Si dans chacun des p expériences indépendantes la probabilité p d'occurrence de l'événement A est constante, alors

,

où est le nombre d'occurrences de l'événement A pour ces p des tests.

Preuve. Nous introduisons des variables aléatoires indépendantes, où X je - une variable aléatoire avec une série de distribution

Puis M (X je) \u003d p, D (X je) \u003d pq. Depuis, alors D (X je) sont limités dans leur ensemble. Il découle du théorème de Chebyshev que

.

Mais X 1 + X 2 + ... + X P est le nombre d'occurrences de l'événement A dans une série de p des tests.

La signification du théorème de Bernoulli réside dans le fait qu'avec une augmentation illimitée du nombre d'expériences indépendantes identiques, on peut soutenir avec une certitude pratique que la fréquence d'occurrence d'un événement différera arbitrairement peu de la probabilité de son apparition dans une expérience séparée ( stabilité statistique de la probabilité d'un événement). Par conséquent, le théorème de Bernoulli sert de pont entre la théorie des applications et ses applications.

La loi des grands nombres

La loi des plus grands nombres en théorie des probabilités, la moyenne empirique (moyenne arithmétique) d'un échantillon fini suffisamment grand d'une distribution fixe est proche de la moyenne théorique (espérance mathématique) de cette distribution. Selon le type de convergence, une distinction est faite entre la loi faible des grands nombres, lorsqu'il y a convergence des probabilités, et la loi forte des grands nombres, lorsque la convergence a lieu presque partout.

Il y aura toujours un tel nombre de tests dans lesquels, avec une probabilité donnée à l'avance, la fréquence relative de l'occurrence d'un événement différera aussi peu que souhaité de sa probabilité.

La signification générale de la loi des grands nombres est que l'action combinée d'un grand nombre de facteurs aléatoires conduit à un résultat presque indépendant du cas.

Les méthodes d'évaluation de la probabilité basées sur l'analyse d'un échantillon fini sont basées sur cette propriété. Un bon exemple est la prévision des résultats des élections basée sur un sondage auprès d'un échantillon d'électeurs.

Loi faible des grands nombres

Soit une suite infinie (énumération séquentielle) de variables aléatoires identiquement distribuées et non corrélées définies sur le même espace de probabilité. Autrement dit, leur covariance. Laisser . Notons la moyenne de l'échantillon des premiers termes:

Loi plus forte des grands nombres

Soit une séquence infinie de variables aléatoires indépendantes à distribution identique définies sur un espace de probabilité. Laisser . Notons la moyenne de l'échantillon des premiers termes:

.

Puis presque sûrement.

voir également

Littérature

• Shiryaev A.N. Probabilité - M.: Science. 1989.
• Chistyakov V.P. Cours de théorie des probabilités, Moscou, 1982.

Fondation Wikimedia. 2010.

• Cinématographie de la Russie
• Gromeka, Mikhail Stepanovich

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La moyenne est l'indicateur le plus généralisé des statistiques. Cela est dû au fait qu'il peut être utilisé pour caractériser la population par des caractéristiques variant quantitativement. Par exemple, pour comparer les salaires des travailleurs de deux entreprises, le salaire de deux travailleurs spécifiques ne peut pas être pris, car il agit comme un indicateur variable. En outre, le montant total des salaires payés dans les entreprises ne peut être pris en compte, car il dépend du nombre d'employés. Si nous divisons le salaire total de chaque entreprise par le nombre d'employés, nous pouvons les comparer et déterminer quelle entreprise a le salaire moyen le plus élevé.

En d'autres termes, les salaires de l'ensemble de travailleurs étudié reçoivent une caractéristique généralisée dans la moyenne. Il exprime le général et le typique qui est caractéristique de l'agrégat des travailleurs par rapport au trait étudié. Dans cette valeur, il montre la mesure générale de cette caractéristique, qui a une signification différente pour les unités de la population.

Détermination de la moyenne. Une moyenne en statistique est une caractéristique généralisée d'un ensemble de phénomènes du même type pour un attribut variant quantitativement. La valeur moyenne indique le niveau de ce trait, rapporté à l'unité de la population. En utilisant la moyenne, il est possible de comparer différentes populations entre elles en fonction de caractéristiques variables (revenu par habitant, rendements des cultures, coûts de production dans différentes entreprises).

La valeur moyenne généralise toujours la variation quantitative du trait avec lequel nous caractérisons la population étudiée, et qui est également inhérente à toutes les unités de la population. Cela signifie que derrière toute valeur moyenne, il y a toujours une série de distribution des unités de la population selon une caractéristique variable, c'est-à-dire gamme de variation. A cet égard, la valeur moyenne est fondamentalement différente des valeurs relatives et, en particulier, des indicateurs d'intensité. L'indicateur d'intensité est le rapport des volumes de deux populations différentes (par exemple, la production de PIB par habitant), tandis que la moyenne résume les caractéristiques des éléments de la population selon l'une des caractéristiques (par exemple, le salaire moyen d'un travailleur).

Moyenne et loi des grands nombres. Dans le changement des indicateurs moyens, une tendance générale se manifeste, sous l'influence de laquelle se forme le processus de développement des phénomènes dans leur ensemble, dans certains cas individuels, cette tendance peut ne pas être clairement révélée. Il est important que les moyennes soient basées sur un résumé de masse des faits. Ce n'est qu'à cette condition qu'ils révéleront la tendance générale sous-jacente à l'ensemble du processus.

Dans l'extinction de plus en plus complète des écarts générés par des causes aléatoires, à mesure que le nombre d'observations augmente, l'essence de la loi des grands nombres et sa signification pour les valeurs moyennes se manifestent. Autrement dit, la loi des grands nombres crée les conditions pour que la valeur moyenne montre le niveau typique d'une caractéristique variable dans des conditions spécifiques de lieu et de temps. L'ampleur de ce niveau est déterminée par l'essence de ce phénomène.

Types de moyennes. Les moyennes utilisées en statistique appartiennent à la classe des moyennes de la loi de puissance, dont la formule générale est la suivante:

Où x est la puissance moyenne;

X - modification des valeurs de la fonction (options)

- option numérique

Indicateur de degré moyen;

Signe de sommation.

Avec différentes valeurs de l'exposant de la moyenne, différents types de moyenne sont obtenus:

Moyenne arithmétique;

Carré moyen de la racine;

Cubique moyen;

Harmonique moyenne;

Moyenne géométrique.

Différents types de moyennes ont des significations différentes lors de l'utilisation des mêmes entrées statistiques. Dans le même temps, plus l'indicateur du degré moyen est élevé, plus sa valeur est élevée.

En statistique, la caractérisation correcte de la population dans chaque cas individuel n'est donnée que par une forme bien définie de valeurs moyennes. Pour déterminer ce type de valeur moyenne, un critère est utilisé qui détermine les propriétés de la moyenne: la valeur moyenne ne sera que la caractéristique généralisante correcte de la population pour un attribut variable, lorsque, lorsque toutes les variantes sont remplacées par une valeur moyenne, le volume total de l'attribut variable reste inchangé. C'est-à-dire que le type correct de moyenne est déterminé par la manière dont le volume total de l'élément variable est formé. Ainsi, la moyenne arithmétique est utilisée lorsque le volume d'un élément variable est formé comme la somme des options individuelles, le carré moyen - lorsque le volume d'un élément variable est formé comme la somme des carrés, la moyenne harmonique - comme la somme des valeurs réciproques d'options individuelles, la moyenne géométrique - comme le produit d'options individuelles. En dehors des moyennes statistiques

Les caractéristiques descriptives de la distribution d'une caractéristique variable (moyenne structurelle), la mode (la variante la plus courante) et la médiane (la variante du milieu) sont utilisées.

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Interagissant quotidiennement au travail ou à l'étude avec les nombres et les nombres, beaucoup d'entre nous ne soupçonnent même pas qu'il existe une loi très intéressante des grands nombres, utilisée, par exemple, dans les statistiques, l'économie et même la recherche psychologique et pédagogique. Il appartient à la théorie des probabilités et dit que la moyenne arithmétique de tout grand échantillon d'une distribution fixe est proche de l'espérance mathématique de cette distribution.

Vous avez probablement remarqué que comprendre l'essence de cette loi n'est pas facile, en particulier pour ceux qui ne sont pas particulièrement sensibles aux mathématiques. Sur cette base, nous aimerions parler de lui langage simple (dans la mesure du possible, bien sûr), afin que chacun puisse au moins comprendre approximativement par lui-même ce que c'est. Ces connaissances vous aideront à mieux comprendre certaines lois mathématiques, à devenir plus érudit et à influencer de manière positive.

Le concept de la loi des grands nombres et son interprétation

En plus de la définition ci-dessus de la loi des grands nombres dans la théorie des probabilités, nous pouvons donner son interprétation économique. Dans ce cas, il représente le principe selon lequel la fréquence d'un type particulier de perte financière peut être prédite avec un degré élevé de certitude lorsqu'il y a haut niveau pertes de types similaires en général.

De plus, en fonction du niveau de convergence des caractéristiques, on peut distinguer les lois faibles et fortes des grands nombres. À propos des faibles ça arrive, quand la convergence existe dans la probabilité, et sur renforcée - quand la convergence existe dans presque tout.

S'il est interprété quelque peu différemment, il faut le dire comme suit: vous pouvez toujours trouver un nombre aussi fini de tests, où avec toute probabilité préprogrammée inférieure à un, la fréquence relative d'occurrence d'un événement différera très peu de sa probabilité.

Ainsi, l'essence générale de la loi des grands nombres peut être exprimée comme suit: le résultat de l'action complexe d'un grand nombre de facteurs aléatoires identiques et indépendants sera un résultat qui ne dépend pas du cas. Et pour parler en termes encore plus simples, dans la loi des grands nombres, les lois quantitatives des phénomènes de masse ne se manifesteront clairement qu'avec un grand nombre d'entre elles (par conséquent, la loi est appelée la loi des grands nombres).

De cela, nous pouvons conclure que l'essence de la loi réside dans le fait que dans les nombres obtenus par l'observation de masse, il y a une certaine exactitude, qui ne peut être trouvée dans un petit nombre de faits.

L'essence de la loi des grands nombres et ses exemples

La loi des grands nombres exprime les lois les plus générales de l'accidentel et du nécessaire. Lorsque les écarts aléatoires "s'éteignent" les uns les autres, les moyennes déterminées pour la même structure prennent la forme de moyennes. Ils reflètent l'action de faits significatifs et permanents dans des conditions de temps et de lieu spécifiques.

Les régularités déterminées au moyen de la loi des grands nombres ne sont fortes que lorsqu'elles représentent des tendances de masse et ne peuvent pas être des lois pour des cas individuels. Ainsi, le principe de la statistique mathématique entre en vigueur, qui dit que l'action complexe d'un certain nombre de facteurs aléatoires peut entraîner un résultat non aléatoire. Et l'exemple le plus frappant du fonctionnement de ce principe est la convergence de la fréquence d'occurrence d'un événement aléatoire et de sa probabilité, lorsque le nombre de tests augmente.

Souvenons-nous du tirage au sort habituel. En théorie, la tête et la queue peuvent avoir la même probabilité. Cela signifie que si, par exemple, vous lancez une pièce de monnaie 10 fois, 5 d'entre elles devraient apparaître pile et 5 têtes. Mais tout le monde sait que cela n'arrive pratiquement jamais, car le rapport de la fréquence des chutes de têtes et de queues peut être de 4 à 6, et de 9 à 1, et de 2 à 8, etc. Cependant, avec une augmentation du nombre de tirages au sort, par exemple jusqu'à 100, la probabilité de frapper face ou face atteint 50%. Si, théoriquement, un nombre infini de telles expériences sont menées, la probabilité qu'une pièce tombe des deux côtés tendra toujours à 50%.

La manière exacte dont une pièce tombe est influencée par un grand nombre de facteurs aléatoires. Il s'agit de la position de la pièce sur la paume, de la force avec laquelle le lancer est effectué, de la hauteur de la chute, de sa vitesse, etc. Mais s'il y a beaucoup d'expériences, quelle que soit la manière dont les facteurs agissent, on peut toujours soutenir que la probabilité pratique est proche de la probabilité théorique.

Et voici un autre exemple qui vous aidera à comprendre l'essence de la loi des grands nombres: supposons que nous devions estimer le niveau des revenus des personnes dans une certaine région. Si nous considérons 10 observations, où 9 personnes reçoivent 20 mille roubles et 1 personne - 500 mille roubles, la moyenne arithmétique sera de 68 mille roubles, ce qui, bien sûr, est peu probable. Mais si nous prenons en compte 100 observations, où 99 personnes reçoivent 20 mille roubles et 1 personne - 500 mille roubles, alors lors du calcul de l'arithmétique, nous obtenons 24,8 mille roubles, ce qui est plus proche de l'état réel des choses. En augmentant le nombre d'observations, nous forcerons la moyenne à tendre vers le vrai indicateur.

C'est pour cette raison que pour appliquer la loi des grands nombres, il faut tout d'abord collecter du matériel statistique afin d'obtenir des résultats vrais, en étudiant un grand nombre d'observations. C'est pourquoi il est commode d'utiliser cette loi, encore une fois, en statistique ou en économie sociale.

Résumons

L'importance du fait que la loi des grands nombres fonctionne est difficile à surestimer pour tout domaine de la connaissance scientifique, et en particulier pour les développements scientifiques dans le domaine de la théorie des statistiques et des méthodes de la connaissance statistique. L'action de la loi est également d'une grande importance pour les objets étudiés eux-mêmes, avec leurs lois de masse. Presque toutes les méthodes d'observation statistique sont basées sur la loi des grands nombres et le principe de la statistique mathématique.

Mais, même sans prendre en compte la science et les statistiques en tant que telles, nous pouvons conclure avec certitude que la loi des grands nombres n'est pas seulement un phénomène du domaine de la théorie des probabilités, mais un phénomène que nous rencontrons presque tous les jours dans notre vie.

Nous espérons que maintenant l'essence de la loi des grands nombres vous est devenue plus claire et que vous pouvez facilement et simplement l'expliquer à quelqu'un d'autre. Et si le sujet des mathématiques et de la théorie des probabilités vous intéresse en principe, nous vous recommandons de lire sur et. Familiarisez-vous également avec et. Et, bien sûr, faites attention aux nôtres, car après l'avoir réussie, vous maîtriserez non seulement de nouvelles techniques de réflexion, mais améliorerez également vos capacités cognitives en général, y compris les mathématiques.